Le groupe fondamental, noté $\pi_1(X)$, est un invariant algébrique qui capture l’information sur les « boucles » ou les « trous » d’un espace topologique $X$. Le calculer directement est souvent très difficile.
Le théorème de Seifert-Van Kampen fournit une méthode de « diviser pour régner » : il permet de calculer le groupe fondamental d’un espace complexe $X$ en le décomposant en deux sous-espaces plus simples, $U_1$ and $U_2$, dont on connaît les groupes fondamentaux.
- On décompose $X$ en une union de deux ouverts connexes par arcs : $X = U_1 \cup U_2$.
- L’intersection $U_1 \cap U_2$ doit être non vide et connexe par arcs.
Soit $X = U_1 \cup U_2$, où $U_1$, $U_2$ et $U_1 \cap U_2$ sont des ouverts connexes par arcs.
Alors le groupe fondamental de $X$ est le produit libre amalgamé des groupes fondamentaux de $U_1$ et $U_2$ le long du groupe fondamental de leur intersection.
Plus formellement, si $i_1: \pi_1(U_1 \cap U_2) \to \pi_1(U_1)$ et $i_2: \pi_1(U_1 \cap U_2) \to \pi_1(U_2)$ sont les homomorphismes induits par les inclusions, alors : $$ \pi_1(X) \cong \pi_1(U_1) *_{\pi_1(U_1 \cap U_2)} \pi_1(U_2) $$
Intuitivement, cela signifie que l’on « colle » les groupes $\pi_1(U_1)$ et $\pi_1(U_2)$ en identifiant les boucles qui proviennent de l’intersection commune.
Idée de la Démonstration
La preuve est l’un des piliers de la topologie algébrique. Elle est assez technique mais l’idée centrale est la suivante :
- Décomposition d’une boucle : On prend une boucle quelconque dans l’espace total $X$. En utilisant la compacité du chemin, on peut la « découper » en une succession de petits chemins, où chaque petit chemin est entièrement contenu soit dans $U_1$, soit dans $U_2$.
- Générateurs : Cela montre que toute boucle dans $X$ peut être vue comme un « mot » formé de boucles de $U_1$ et de boucles de $U_2$. Le groupe $\pi_1(X)$ est donc engendré par les éléments de $\pi_1(U_1)$ et $\pi_1(U_2)$.
- Relations : On doit ensuite identifier les relations entre ces générateurs. Si un chemin est entièrement contenu dans l’intersection $U_1 \cap U_2$, on peut le voir soit comme un élément de $\pi_1(U_1)$, soit comme un élément de $\pi_1(U_2)$. Ces deux représentations doivent être identifiées dans le groupe final. Ce sont ces identifications qui créent la structure de « produit amalgamé ».
Applications Fondamentales
- Calcul de groupes fondamentaux : C’est l’outil principal pour calculer le groupe fondamental de nombreux espaces. Par exemple, pour calculer le $\pi_1$ d’un « bouquet de deux cercles » (un 8), on le décompose en deux cercles avec un petit voisinage qui s’intersectent. Le théorème montre que le groupe est le produit libre $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$.
- Topologie des surfaces : Il est utilisé pour calculer le groupe fondamental de toutes les surfaces compactes (sphère, tore, tore à $g$ trous, etc.).
- Théorie des nœuds : En théorie des nœuds, on étudie un nœud en analysant le groupe fondamental de son complémentaire dans l’espace $\mathbb{R}^3$. Le théorème de Van Kampen est essentiel pour calculer ce groupe.