Théorème de De Moivre-Laplace : démonstration (preuve)

Théorème de De Moivre-Laplace
Contexte : La Loi Binomiale

La loi binomiale est l’une des lois de probabilité les plus courantes. Elle modélise le nombre de « succès » que l’on obtient en répétant $n$ fois une expérience aléatoire indépendante qui n’a que deux issues possibles : « succès » (avec une probabilité $p$) ou « échec » (avec une probabilité $1-p$).

  • Exemple type : On lance 10 fois une pièce de monnaie non truquée. Le nombre de « Pile » obtenus suit une loi binomiale avec $n=10$ et $p=0.5$.

Calculer les probabilités avec la loi binomiale peut devenir très fastidieux lorsque $n$ est grand. Le théorème de De Moivre-Laplace offre une approximation très efficace dans ce cas.

Théorème de De Moivre-Laplace

Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, alors pour un $n$ suffisamment grand (en pratique, quand $np > 5$ et $n(1-p) > 5$), la loi de $X$ peut être approximée par une loi normale.

Plus précisément, $X$ suit approximativement une loi normale d’espérance $\mu = np$ et d’écart-type $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$.

Interprétation et Application

Ce théorème est une version historique du Théorème Central Limite, appliquée au cas spécifique d’une somme de variables de Bernoulli (chaque lancer de pièce est une variable de Bernoulli).

Exemple concret :

Imaginons que l’on lance une pièce de monnaie équilibrée 100 fois ($n=100, p=0.5$). Quelle est la probabilité d’obtenir entre 45 et 55 « Pile » ?

  • Calcul exact (très long) : Il faudrait calculer la probabilité d’avoir 45 Pile, 46 Pile, …, jusqu’à 55 Pile, et additionner tous ces résultats.
  • Approximation par la loi normale :
    1. L’espérance est $\mu = 100 \times 0.5 = 50$.
    2. La variance est $\sigma^2 = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$, donc l’écart-type est $\sigma = \sqrt{25} = 5$.
    3. On approxime notre loi binomiale par une loi normale $\mathcal{N}(50, 5^2)$.
    4. On peut alors utiliser les tables de la loi normale pour trouver très rapidement que la probabilité de se trouver à moins d’un écart-type de la moyenne (entre 45 et 55) est d’environ 68%.

Cette approximation a été cruciale pour les statisticiens avant l’avènement des calculatrices puissantes, et elle reste un outil conceptuel et pratique fondamental aujourd’hui.