Soit $E$ un K-espace vectoriel. Une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire de $E$ vers son corps de scalaires $K$.
Remarque
Rappelons qu’un sous-espace vectoriel $H$ de $E$ est un hyperplan si la dimension de l’espace quotient $E/H$ est égale à 1. Dans le cas où $E$ est de dimension finie, cela équivaut à dire que la dimension de $H$ est $\dim(E) – 1$.
Soit $E$ un K-espace vectoriel.
- Le noyau d’une forme linéaire non nulle sur $E$ est un hyperplan de $E$.
- Tout hyperplan de $E$ est le noyau d’au moins une forme linéaire non nulle.
- Deux formes linéaires non nulles $\varphi$ et $\psi$ sur $E$ ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles, c’est-à-dire s’il existe un scalaire non nul $\lambda \in K$ tel que $\psi = \lambda\varphi$.
Démonstration
i) Soit $\varphi$ une forme linéaire non nulle sur $E$. D’après le théorème du rang, l’espace quotient $E/Ker(\varphi)$ est isomorphe à $Im(\varphi)$. Comme $\varphi$ est non nulle, son image est une partie non nulle du corps $K$, qui est un K-espace vectoriel de dimension 1. Donc $Im(\varphi) = K$. Par conséquent, $\dim(E/Ker(\varphi)) = \dim(K) = 1$, ce qui signifie que $Ker(\varphi)$ est un hyperplan.
ii) ($\implies$) Soit $H$ un hyperplan. Il existe un vecteur $x_0 \notin H$ tel que $E = H \oplus Vect(x_0)$. Tout vecteur $x \in E$ s’écrit de manière unique $x = y + \alpha x_0$ avec $y \in H$ et $\alpha \in K$. L’application $\varphi: E \to K$ définie par $\varphi(x) = \alpha$ est une forme linéaire non nulle dont le noyau est précisément $H$.
iii) ($\implies$) Supposons que $Ker(\varphi) = Ker(\psi) = H$. Soit $x_0 \notin H$. Pour tout $x \in E$, on a $x = y + \alpha x_0$ avec $y \in H$. Alors $\varphi(x) = \alpha \varphi(x_0)$ et $\psi(x) = \alpha \psi(x_0)$. Comme $\varphi$ et $\psi$ sont non nulles, $\varphi(x_0) \neq 0$ et $\psi(x_0) \neq 0$. On peut donc écrire $\alpha = \frac{\varphi(x)}{\varphi(x_0)}$, ce qui donne $\psi(x) = \frac{\psi(x_0)}{\varphi(x_0)}\varphi(x)$. En posant $\lambda = \frac{\psi(x_0)}{\varphi(x_0)}$, on a bien $\psi = \lambda\varphi$.
($\impliedby$) Si $\psi = \lambda\varphi$ avec $\lambda \neq 0$, il est évident que $Ker(\psi) = Ker(\varphi)$.