Soit $E$ un K-espace vectoriel. On appelle espace vectoriel dual de $E$, noté $E^*$, l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires sur $E$. On a donc : $$ E^* = L(E, K) $$
Notations
Pour un vecteur $x \in E$ et une forme linéaire $\varphi \in E^*$, l’évaluation de $\varphi$ en $x$ est souvent notée à l’aide de crochets de dualité : $$ \varphi(x) = \langle x, \varphi \rangle $$
Remarque
Si $E$ est de dimension finie, alors son dual $E^*$ l’est aussi, et ils ont la même dimension. En effet, $\dim(L(E,K)) = \dim(E) \times \dim(K) = \dim(E) \times 1 = \dim(E)$.
En particulier, un espace vectoriel de dimension finie est toujours isomorphe à son dual. Attention, cet isomorphisme n’est pas canonique. En revanche, si $E$ est de dimension infinie, il n’est pas toujours isomorphe à son dual.
Exemples
- Dual de $K^n$ : Soit $K$ un corps commutatif. Pour tout vecteur $a = (a_1, \dots, a_n) \in K^n$, on peut définir une forme linéaire $\varphi_a$ sur $K^n$ par : $$ \forall x = (x_1, \dots, x_n) \in K^n, \quad \varphi_a(x) = \sum_{i=1}^n a_i x_i $$ Réciproquement, toute forme linéaire $\varphi$ sur $K^n$ est de ce type. En effet, en posant $a_i = \varphi(e_i)$ (où $(e_i)$ est la base canonique), on montre que $\varphi = \varphi_a$. L’application $a \mapsto \varphi_a$ est un isomorphisme entre $K^n$ et $(K^n)^*$.
- Dual de $K[X]$ : Soit $K$ un corps commutatif. Pour toute suite $u=(u_n)_{n \ge 0}$ d’éléments de $K$, on peut définir une forme linéaire $\varphi_u$ sur l’espace des polynômes $K[X]$ par : $$ \forall P(X) = \sum_{i=0}^d a_i X^i \in K[X], \quad \varphi_u(P) = \sum_{i=0}^d a_i u_i $$ Réciproquement, toute forme linéaire sur $K[X]$ est de cette forme (en posant $u_n = \varphi(X^n)$). L’espace dual $(K[X])^*$ est donc isomorphe à l’espace $K^{\mathbb{N}}$ des suites à valeurs dans $K$.
- Dual de $\mathcal{M}_n(K)$ : Soit $E = \mathcal{M}_n(K)$ l’espace des matrices carrées d’ordre $n$. Pour toute matrice $A \in E$, l’application $\varphi_A(M) = tr(AM)$ est une forme linéaire sur $E$. Réciproquement, on peut montrer que toute forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(K)$ est de ce type pour une unique matrice $A$. L’espace dual $(\mathcal{M}_n(K))^*$ est donc isomorphe à $\mathcal{M}_n(K)$ lui-même.