Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension $n$, et soit $\beta = (e_1, e_2, \dots, e_n)$ une base quelconque de $E$. Pour chaque indice $i \in \{1, \dots, n\}$, il existe une unique forme linéaire $e_i^* \in E^*$ définie par la relation : $$ \forall j \in \{1, \dots, n\}, \quad \langle e_j, e_i^* \rangle = \delta_{ij} $$ où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker (vaut 1 si $i=j$, et 0 sinon).
La famille $\beta^* = (e_1^*, e_2^*, \dots, e_n^*)$ ainsi construite est une base de l’espace dual $E^*$. Elle est appelée la base duale de la base $\beta$.
Démonstration
Puisque $\dim(E^*) = \dim(E) = n$, il suffit de prouver que la famille $\beta^*$ est libre. Considérons une combinaison linéaire nulle : $\alpha_1 e_1^* + \alpha_2 e_2^* + \dots + \alpha_n e_n^* = 0$, où $0$ est la forme linéaire nulle.
Pour montrer que tous les scalaires $\alpha_i$ sont nuls, évaluons cette forme linéaire sur chaque vecteur $e_j$ de la base $\beta$ : $$ \forall j \in \{1, \dots, n\}, \quad \langle e_j, \alpha_1 e_1^* + \dots + \alpha_n e_n^* \rangle = \langle e_j, 0 \rangle = 0 $$ Par linéarité du crochet à droite, cela donne : $$ \sum_{i=1}^n \alpha_i \langle e_j, e_i^* \rangle = 0 $$ En utilisant la définition de la base duale, $\langle e_j, e_i^* \rangle = \delta_{ij}$, la somme se simplifie et il ne reste que le terme pour $i=j$ : $$ \alpha_j \langle e_j, e_j^* \rangle = \alpha_j \cdot 1 = \alpha_j = 0 $$ Ceci étant vrai pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$, tous les scalaires sont nuls. La famille est donc libre et, ayant le bon cardinal, c’est une base de $E^*$.
Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie, $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$ et $\beta^* = (e_1^*, \dots, e_n^*)$ sa base duale.
- Tout vecteur $x \in E$ se décompose comme : $x = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i^* \rangle e_i$.
- Toute forme linéaire $\varphi \in E^*$ se décompose comme : $\varphi = \sum_{i=1}^n \langle e_i, \varphi \rangle e_i^*$.
Exemples
- Base duale de la base canonique de $K^n$ : Si $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ est la base canonique de $K^n$, sa base duale $\beta^*=(e_1^*, \dots, e_n^*)$ est constituée des formes linéaires « projection », où $e_i^*$ est la $i$-ème application coordonnée : $e_i^*(x) = x_i$.
- Base duale pour les polynômes : Soit $\beta = (1, X, \dots, X^n)$ la base canonique de $K_n[X]$. Sa base duale $\beta^* = (e_0^*, \dots, e_n^*)$ est définie par $e_i^*(P) = a_i$, où $a_i$ est le coefficient du monôme $X^i$ dans le polynôme $P$.
Soit $u$ un endomorphisme de $E$, et $A=(a_{ij})$ sa matrice dans une base $\beta=(e_1, \dots, e_n)$. Le coefficient $a_{ij}$ de la matrice est donné par l’évaluation de la $i$-ème forme linéaire de la base duale sur l’image du $j$-ème vecteur de base : $$ \forall (i,j) \in \{1, \dots, n\}^2, \quad a_{ij} = \langle u(e_j), e_i^* \rangle $$