Soit $E$ un K-espace vectoriel et $p$ un entier supérieur ou égal à 1. Une application $f: E^p \to K$ est appelée une forme p-linéaire sur $E$ si elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables.
Autrement dit, pour tout indice $i \in \{1, \dots, p\}$ et pour tous vecteurs $x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_p$ fixés, l’application partielle $f_i: E \to K$ définie par $f_i(y) = f(x_1, \dots, x_{i-1}, y, x_{i+1}, \dots, x_p)$ est une forme linéaire.
Remarque
- Si l’un des vecteurs arguments d’une forme p-linéaire est le vecteur nul, alors le résultat est le scalaire nul.
- Une forme 1-linéaire est simplement une forme linéaire.
- Une forme 2-linéaire est appelée une forme bilinéaire.
- L’ensemble de toutes les formes p-linéaires sur $E$, noté $\mathcal{L}_p(E)$, est un K-espace vectoriel.
Règles de Calcul dans une Base
Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$, muni d’une base $(e_1, \dots, e_n)$, et soit $f$ une forme p-linéaire sur $E$.
Pour un p-uplet de vecteurs $(x_1, \dots, x_p) \in E^p$, où chaque $x_j$ se décompose en $x_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}e_i$, on peut exprimer $f(x_1, \dots, x_p)$ en utilisant la multilinéarité : $$ f(x_1, \dots, x_p) = f\left(\sum_{i_1=1}^n a_{i_1 1}e_{i_1}, \dots, \sum_{i_p=1}^n a_{i_p p}e_{i_p}\right) $$ $$ = \sum_{i_1=1}^n \dots \sum_{i_p=1}^n a_{i_1 1} \dots a_{i_p p} f(e_{i_1}, \dots, e_{i_p}) $$ Cette expression peut être réécrite plus de manière plus compacte en utilisant les applications de $\{1, \dots, p\}$ dans $\{1, \dots, n\}$ : $$ f(x_1, \dots, x_p) = \sum_{\sigma \in \mathcal{F}(\{1..p\},\{1..n\})} \left( \prod_{j=1}^p a_{\sigma(j), j} \right) f(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(p)}) $$