Soit $E$ un K-espace vectoriel, $p \ge 1$ un entier, et $f: E^p \to K$ une forme p-linéaire.
- $f$ est dite symétrique si sa valeur est invariante par permutation de ses arguments :
$\forall \sigma \in S_p, \forall (x_1, \dots, x_p) \in E^p, \quad f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(p)}) = f(x_1, \dots, x_p)$. - $f$ est dite antisymétrique si la permutation de ses arguments multiplie sa valeur par la signature de la permutation :
$\forall \sigma \in S_p, \forall (x_1, \dots, x_p) \in E^p, \quad f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(p)}) = \varepsilon(\sigma) f(x_1, \dots, x_p)$. - $f$ est dite alternée si sa valeur est nulle dès que deux de ses arguments sont identiques :
$\forall (x_1, \dots, x_p) \in E^p, \quad (\exists i \neq j, x_i = x_j) \implies f(x_1, \dots, x_p) = 0$.
Remarque
Pour le cas important des formes bilinéaires ($p=2$) :
- $f$ est symétrique si et seulement si $\forall x,y \in E, f(x,y)=f(y,x)$.
- $f$ est antisymétrique si et seulement si $\forall x,y \in E, f(x,y)=-f(y,x)$.
- $f$ est alternée si et seulement si $\forall x \in E, f(x,x)=0$.
Soit $f$ une forme p-linéaire sur un K-espace vectoriel $E$, où le corps $K$ est de caractéristique différente de 2. Alors, $f$ est antisymétrique si et seulement si elle est alternée.
Démonstration
(Antisymétrique $\implies$ Alternée) Supposons $f$ antisymétrique. Soit $(x_1, \dots, x_p)$ un p-uplet de vecteurs avec $x_i=x_j$ pour $i \neq j$. Soit $\tau$ la transposition qui échange $i$ et $j$. Comme $f$ est antisymétrique, $f(x_{\tau(1)}, \dots, x_{\tau(p)}) = \varepsilon(\tau) f(x_1, \dots, x_p) = -f(x_1, \dots, x_p)$. Mais comme $x_i=x_j$, la permutation des arguments ne change pas le p-uplet, donc $f(x_{\tau(1)}, \dots, x_{\tau(p)}) = f(x_1, \dots, x_p)$. On a donc $f(\dots) = -f(\dots)$, ce qui implique $2f(\dots)=0$. Comme la caractéristique de $K$ est différente de 2, on peut conclure que $f(x_1, \dots, x_p) = 0$. La forme est donc alternée.
(Alternée $\implies$ Antisymétrique) Supposons $f$ alternée. Il suffit de le montrer pour une transposition $\tau=(i,j)$, car elles engendrent le groupe symétrique. Par multilinéarité, on a : $$ f(\dots, x_i+x_j, \dots, x_i+x_j, \dots) = f(\dots, x_i, \dots, x_i, \dots) + f(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) + f(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) + f(\dots, x_j, \dots, x_j, \dots) $$ Comme $f$ est alternée, le terme de gauche et les termes $f(\dots, x_i, \dots, x_i, \dots)$ et $f(\dots, x_j, \dots, x_j, \dots)$ sont nuls. Il reste donc $0 = f(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) + f(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots)$, ce qui prouve que $f$ est antisymétrique pour la transposition $(i,j)$.
Remarque
- Si la caractéristique de $K$ est 2, toute forme alternée est symétrique (car $1=-1$). La réciproque est fausse.
- L’ensemble des formes p-linéaires alternées sur $E$, noté $\mathcal{A}_p(E)$, est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}_p(E)$.
Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$.
- Si $p > n$, alors l’unique forme p-linéaire alternée sur $E$ est la forme nulle : $\mathcal{A}_p(E) = \{0\}$.
- Si $p = n$, alors l’espace des formes n-linéaires alternées est une droite vectorielle : $\dim(\mathcal{A}_n(E)) = 1$.
Démonstration
i) Si $p>n$ : Soit $f \in \mathcal{A}_p(E)$ et $(x_1, \dots, x_p)$ des vecteurs de $E$. Comme $p > n = \dim(E)$, cette famille de $p$ vecteurs est nécessairement liée. L’un des vecteurs, disons $x_k$, est une combinaison linéaire des autres. Par multilinéarité, $f(x_1, \dots, x_p)$ est une combinaison linéaire de termes de la forme $f(\dots)$ où un vecteur est répété. Comme $f$ est alternée, tous ces termes sont nuls. Donc $f(x_1, \dots, x_p)=0$.
ii) Si $p=n$ : Soit $\beta=(e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. Une forme n-linéaire $f$ est entièrement déterminée par les valeurs $f(e_{i_1}, \dots, e_{i_n})$. Si $f$ est alternée, ces valeurs sont nulles dès que deux indices sont égaux. Il ne reste que les termes où $(i_1, \dots, i_n)$ est une permutation de $(1, \dots, n)$. De plus, si $\sigma$ est une permutation, on a $f(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)f(e_1, \dots, e_n)$. La forme $f$ est donc entièrement déterminée par la seule valeur $f(e_1, \dots, e_n)$. Cela signifie que $f$ est proportionnelle à une forme n-linéaire alternée de référence $\Delta$ (celle pour laquelle $\Delta(e_1, \dots, e_n)=1$). L’espace $\mathcal{A}_n(E)$ est donc de dimension 1.