Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$, et soit $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. Pour une famille de $n$ vecteurs $(x_1, \dots, x_n) \in E^n$, où chaque vecteur $x_j$ se décompose en $x_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}e_i$, on définit le déterminant de $(x_1, \dots, x_n)$ par rapport à la base $\beta$, noté $\det_\beta(x_1, \dots, x_n)$, par : $$ \det_\beta(x_1, \dots, x_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) a_{\sigma(1),1} a_{\sigma(2),2} \dots a_{\sigma(n),n} $$ Cette valeur correspond à l’évaluation de l’unique forme n-linéaire alternée $\Delta$ sur $E$ telle que $\Delta(e_1, \dots, e_n)=1$.
Remarque
L’application $\det_\beta: E^n \to K$ est une forme n-linéaire alternée. Si $f$ est une autre forme n-linéaire alternée sur $E$, alors elle est proportionnelle à $\det_\beta$. Plus précisément, pour toute famille de vecteurs $(x_1, \dots, x_n)$, on a : $$ f(x_1, \dots, x_n) = f(e_1, \dots, e_n) \times \det_\beta(x_1, \dots, x_n) $$ En particulier, si $\gamma = (v_1, \dots, v_n)$ est une autre base de $E$, on peut appliquer cette relation en prenant $f = \det_\gamma$.
Soient $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie, et $\beta, \gamma$ deux bases de $E$. Alors le produit des déterminants des bases l’une par rapport à l’autre vaut 1 : $$ \det_\beta(\gamma) \times \det_\gamma(\beta) = 1 $$
Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension $n$. Une famille de $n$ vecteurs $(x_1, \dots, x_n)$ forme une base de $E$ si et seulement si son déterminant dans une base quelconque $\beta$ de $E$ est non nul. $$ (x_1, \dots, x_n) \text{ est une base} \iff \det_\beta(x_1, \dots, x_n) \neq 0 $$
Démonstration
($\impliedby$) Supposons par l’absurde que la famille $(x_1, \dots, x_n)$ est liée, tout en ayant un déterminant non nul. Si la famille est liée, l’un des vecteurs, disons $x_n$, est une combinaison linéaire des autres : $x_n = \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i x_i$.
Par multilinéarité du déterminant, on a : $$ \det_\beta(x_1, \dots, x_{n-1}, x_n) = \det_\beta\left(x_1, \dots, x_{n-1}, \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i x_i\right) = \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \det_\beta(x_1, \dots, x_{n-1}, x_i) $$ Pour chaque terme de la somme, le vecteur $x_i$ apparaît deux fois dans les arguments du déterminant. Comme le déterminant est une forme alternée, chacun de ces termes est nul. Par conséquent, $\det_\beta(x_1, \dots, x_n) = 0$. Ceci contredit notre hypothèse. La famille est donc libre. Étant une famille libre de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$, c’est une base.
($\implies$) Si $\beta’ = (x_1, \dots, x_n)$ est une base, alors son déterminant dans sa propre base est $\det_{\beta’}(\beta’) = 1$, ce qui est non nul.