Angles orientés et trigonométrie
I. Unités de mesure des angles : Radian et grade
Soit $(C)$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ et soient $I$ et $M$ deux points du cercle $(C)$ et $\alpha$ est la mesure de l’angle $\widehat{I O M}$ :
$\widehat{I O M}=\alpha^{\circ}$ et $0 \leq \alpha \leq 360^{\circ}$.
$\otimes$ Déterminons $\ell$ la longueur de l’arc $I M$ :
On sait que le périmètre du cercle $(C)$ est $2 \pi R$. Donc :
$$ 2 \pi R \longleftrightarrow 360^{\circ} $$
$$ \ell \longleftrightarrow \alpha^{\circ} $$
Par conséquent: $\ell = \dfrac{2 \alpha \pi R}{360}=\dfrac{\alpha \pi R}{180}$.
Dans tout ce qui suit on s’intéresse à la mesure de l’angle $\widehat{I O M}$, c’est pour cette raison qu’on pose $R = 1$.
Définition
Soit $(C)$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R = 1$ et soient $I$ et $M$ deux points de $(C)$.
La mesure de l’angle géométrique $\widehat{I O M}$ en radians est la longueur de l’arc $I M$.
Remarque
$1 \text{ rad}$ est la mesure d’un angle qui intercepte un arc sur le cercle $C(O, 1)$ de longueur 1.
Proportionnalité des unités de mesure des angles :
Il existe trois unités de mesure des angles : Degré, Radian et grade.
La mesure d’un angle plat en degrés est $180^{\circ}$ et en radians est $\pi$ et en grades est $200 \mathrm{gr}$. C’est-à-dire : $180^{\circ} = \pi \mathrm{rad} = 200 \mathrm{gr}$.
Définition
Si $x$, $y$ et $z$ sont les mesures respectives d’un angle géométrique en degrés, radians et en grades, alors: $\dfrac{x}{180} = \dfrac{y}{\pi} = \dfrac{z}{200}$.
Exemple
Déterminons en radians la mesure d’un angle sa mesure en degrés est : $45^{\circ}$.
On a : $ \pi \longleftrightarrow 180^{\circ} $ et $ a \longleftrightarrow 45^{\circ} $
Donc: $a=\dfrac{45 \pi}{180}=\dfrac{\pi}{4} \mathrm{rad}$.
Application (1)
Compléter le tableau suivant:
| Mesure en degrés | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 22.5 | 120 | 360 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mesure en radians | 0 | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{\pi}{8}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\mathbf{2 \pi}$ |
II. Cercle trigonométrique – Abscisses curvilignes d’un point
Cercle trigonométrique:
Définition
Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(\mathrm{O}, \overrightarrow{O I}, \overrightarrow{O J})$, le cercle trigonométrique (C) est un cercle de centre $\mathrm{O}$ et de rayon 1 et orienté dans le sens direct ou positif (le sens contraire des aiguilles d’une montre).
Le point $I$ est appelé l’origine du cercle $(C)$.
Abscisses curvilignes d’un point d’un cercle trigonométrique :
Définition
Soit $(C)$ un cercle trigonométrique.
Tout réel $\alpha$ est représenté sur $(C)$ par un unique point $M$.
Le nombre $\alpha$ est appelé une abscisse curviligne du point $M$ et on écrit $M(\alpha)$.
Remarque
- $\otimes$ Si $\alpha$ est une abscisse curviligne d’un point $M$, alors tout nombre écrit sous la forme $\alpha+2 k \pi$ tel que $k \in \mathbb{Z}$ est aussi une abscisse curviligne de $M$.
- $\otimes$ Parmi toutes les abscisses curvilignes d’un point $M$ une seule appartient à l’intervalle $]-\pi, \pi]$ : c’est l’abscisse curviligne principale.
Exemple
Déterminons l’abscisse principale du point $M\left(\dfrac{37 \pi}{3}\right)$.
- Méthode (1): On a : $\dfrac{37 \pi}{3}=\dfrac{36 \pi+\pi}{3}=12 \pi+\dfrac{\pi}{3}$. Donc l’abscisse principale du point $M$ est $\dfrac{\pi}{3}$.
- Méthode (2): Soit $\alpha_{0}$ l’abscisse principale du point $M$. On a : $\dfrac{37 \pi}{3}=\alpha_{0}+2 k \pi$ tel que $k \in \mathbb{Z}$. Donc : $\alpha_{0}=\dfrac{37 \pi}{3}-2 k \pi$. Or $-\pi < \alpha_{0} \leq \pi$, alors $-\pi < \dfrac{37 \pi}{3}-2 k \pi \leq \pi$. Par suite : $\dfrac{34}{6} \leq k < \dfrac{40}{6}$ c-à-d $5,66 \leq k < 6,66$. Puisque $k \in \mathbb{Z}$, alors : $k=6$. D'où l'abscisse principale du point $M$ est $\alpha_{0}=\dfrac{37 \pi}{3}-2 \times 6 \pi=\dfrac{\pi}{3}$.
III. Rapports trigonométriques d’un nombre réel
Sinus-Cosinus-Tangente d’un nombre réel :
Définition
Soient $(C)$ un cercle trigonométrique de centre $O$ et d’origine $I$ et $J$ le point de $(C)$ tel que : $\overline{(\overrightarrow{O I} ; \overrightarrow{O J})} \equiv \dfrac{\pi}{2}[2 \pi]$.
Soit $M$ un point de $(C)$ d’abscisse curviligne $x$ et soit $(\Delta)$ la droite passante par $I$ et parallèle $(O J)$.
- L’abscisse du point $M$ dans le repère orthonormé $(O, \overrightarrow{O I}, \overrightarrow{O J})$ est appelée cosinus du nombre réel $x$ et notée : $\cos(x)$.
- L’ordonnée du point $M$ est appelée sinus du nombre réel $x$ et notée : $\sin(x)$.
- L’abscisse du point $T$ d’intersection de $(\Delta)$ et $(O M)$ dans le repère $(I,P)$ est appelée tangente du nombre réel $x$ et notée : $\tan(x)$.
Conséquences
Pour tout réel $x$ on a :
- $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ et $-1 \leq \sin(x) \leq 1$.
- $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$.
- $\cos(x+2 k \pi) = \cos(x), \quad \sin (x+2 k \pi)=\sin (x)$ et $\tan (x+2 k \pi)=\tan (x)$.
- Pour tout réel $x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi$, on a : $\tan (x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $1+\tan ^{2}(x)=\dfrac{1}{\cos ^{2}(x)}$.
Relations entre les rapports trigonométriques :
Pour tout réel $x$ on a les relations suivantes:
Rapports de $x$ et de $-x$
- $\cos (-x)=\cos x$
- $\sin (-x)=-\sin x$
- $\tan (-x)=-\tan (x)$
Rapports de $x$ et de $\pi+x$
- $\cos (\pi+x)=-\cos x$
- $\sin (\pi+x)=-\sin x$
- $\tan (\pi+x)=\tan (x)$
Rapports de $x$ et de $\pi-x$
- $\cos (\pi-x)=-\cos (x)$
- $\sin (\pi-x)=\sin (x)$
- $\tan (\pi-x)=-\tan (x)$
Rapports de $x$ et de $\dfrac{\pi}{2}-x$
- $\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin (x)$
- $\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos (x)$
- $\tan \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{\tan (x)}$
Rapports de $x$ et de $\dfrac{\pi}{2}+x$
- $\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin (x)$
- $\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos (x)$
- $\tan \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\dfrac{1}{\tan (x)}$
Rapports trigonométriques pour des angles usuels :
| $x$ | 0 | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | 1 | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | 0 | -1 |
| $\sin x$ | 0 | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 | 0 |
| $\tan x$ | 0 | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | Indéfini | 0 |
IV. Équations et inéquations trigonométriques
Équation $\cos(x) = a$
Soit $a$ un nombre réel.
- Si $|a| > 1$, l’équation n’a pas de solution.
- Si $|a| \leq 1$, il existe $\alpha$ tel que $\cos(\alpha) = a$. Les solutions sont : $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.
Équation $\sin(x) = a$
Soit $a$ un nombre réel.
- Si $|a| > 1$, l’équation n’a pas de solution.
- Si $|a| \leq 1$, il existe $\alpha$ tel que $\sin(\alpha) = a$. Les solutions sont : $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi – \alpha + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.
Équation $\tan(x) = a$
Pour tout $a \in \mathbb{R}$, il existe $\alpha$ tel que $\tan(\alpha) = a$. Les solutions sont :
$x = \alpha + k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.
V. Lois des sinus dans un triangle
Surface d’un triangle :
Théorème
Soit $ABC$ un triangle de surface $S$. On pose $a=BC, b=AC$ et $c=AB$. On a :
$$ S=\dfrac{1}{2} ab \sin(\widehat{C})=\dfrac{1}{2} ac \sin(\widehat{B})=\dfrac{1}{2} bc \sin(\widehat{A}) $$
Lois des sinus :
Théorème
Soit $ABC$ un triangle et $R$ le rayon de son cercle circonscrit. On a :
$$ \dfrac{a}{\sin(\widehat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\widehat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\widehat{C})} = 2R $$