Calculs des Limites
Lorsque les théorèmes généraux sur les limites aboutissent à une forme indéterminée, l’utilisation des développements limités (D.L.) est une technique très efficace pour lever l’indétermination. La méthode consiste à remplacer les fonctions par leurs parties principales pour trouver un équivalent simple du quotient ou du produit.
Exemples
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Calcul de $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x – x}{x^2(e^x – 1)}$ :
On utilise les D.L. usuels en 0 :
$\sin x – x = (x – \frac{x^3}{6} + x^3\epsilon_1(x)) – x = -\frac{x^3}{6} + x^3\epsilon_1(x) \sim_0 -\frac{x^3}{6}$.
$x^2(e^x – 1) = x^2(1+x+x\epsilon_2(x) – 1) = x^3 + x^3\epsilon_2(x) \sim_0 x^3$.
Le quotient est donc équivalent à $\frac{-x^3/6}{x^3} = -\frac{1}{6}$. La limite est $-\frac{1}{6}$. -
Calcul de $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin^2 x} – \frac{1}{x^2}\right)$ :
On réduit au même dénominateur : $f(x) = \frac{x^2 – \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x}$.
Le dénominateur est équivalent à $x^2 \cdot x^2 = x^4$.
Pour le numérateur : $x^2 – (x – \frac{x^3}{6} + \dots)^2 = x^2 – (x^2 – \frac{x^4}{3} + \dots) \sim_0 \frac{x^4}{3}$.
Le quotient est donc équivalent à $\frac{x^4/3}{x^4} = \frac{1}{3}$. La limite est $\frac{1}{3}$. -
Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \left[ x(1+x^2)^{1/6} – x^{1/3} \right]$ :
Cet exemple n’est pas dans le PDF, mais illustre le changement de variable. On pose $u=1/x$. La limite devient $\lim_{u \to 0^+} \frac{(1+u^2/1)^{1/6} – u^{2/3}}{u}$. Ce n’est pas la bonne approche. Factorisons plutôt le terme dominant : $x^{1/3}((1+x^2)^{1/6}x^{5/6} – 1)$. Non plus. La bonne approche est : $x \cdot x^{1/3}(1+1/x^2)^{1/6} – x^{1/3} = x^{1/3}[x(1+1/x^2)^{1/6}-1]$. Non, l’exemple du PDF est différent. Reprenons l’exemple du PDF : $\lim_{x \to +\infty} \frac{x((1+x^2)^{1/6} – x^{1/3})}{(1+x)^{1/3} – x^{1/3}}$. Numérateur : $x \cdot x^{1/3}((1+1/x^2)^{1/6}-1) \sim_{+\infty} x^{4/3} \cdot \frac{1}{6x^2} = \frac{1}{6x^{2/3}}$. Dénominateur : $x^{1/3}((1+1/x)^{1/3}-1) \sim_{+\infty} x^{1/3} \cdot \frac{1}{3x} = \frac{1}{3x^{2/3}}$. Le rapport tend vers $\frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{2}$.
Calcul des Dérivées n-ièmes en un Point
Si une fonction $f$ est de classe $C^n$ au voisinage d’un point $a$, elle admet un D.L. unique donné par la formule de Taylor-Young : $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f »(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + (x-a)^n\epsilon(x) $$ Si l’on parvient à calculer le D.L. de $f$ en $a$ par d’autres méthodes (opérations, etc.), on peut identifier les coefficients terme à terme pour en déduire les valeurs des dérivées successives $f^{(k)}(a)$.
Exemple
Calculons les quatre premières dérivées en 0 de $f(x) = \frac{\cos x}{1+x+x^2}$.
On cherche le D.L. de $f$ à l’ordre 4 en 0. On a $\cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + x^4\epsilon_1(x)$. On effectue la division suivant les puissances croissantes de ce polynôme par $1+x+x^2$.
Le quotient obtenu est $1 – x – \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x^3 – \frac{23}{24}x^4$. Le D.L. de $f$ est donc : $$ f(x) = 1 – x – \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x^3 – \frac{23}{24}x^4 + x^4\epsilon(x) $$ Par identification avec la formule de Taylor-Young, on déduit :
- $f(0) = 1$
- $\frac{f'(0)}{1!} = -1 \implies f'(0) = -1$
- $\frac{f »(0)}{2!} = -\frac{1}{2} \implies f »(0) = -1$
- $\frac{f »'(0)}{3!} = \frac{3}{2} \implies f »'(0) = 9$
- $\frac{f^{(4)}(0)}{4!} = -\frac{23}{24} \implies f^{(4)}(0) = -23$