Le théorème de Bolzano-Weierstrass est un pilier de l’analyse réelle. Sa force réside dans sa capacité à garantir l’existence d’une sous-suite convergente sans jamais avoir besoin de la construire explicitement. C’est un argument de compacité fondamental.
De toute suite réelle bornée, on peut extraire au moins une sous-suite qui converge vers une limite réelle.
La Stratégie d’Utilisation
On applique typiquement le théorème de Bolzano-Weierstrass lorsqu’on se trouve dans la situation suivante :
- On dispose d’une suite $(x_n)$ dont on ne connaît pas grand-chose, sauf qu’elle est bornée.
- On veut prouver l’existence d’un certain objet (un point, une solution, etc.) ayant une propriété particulière.
- L’idée est d’utiliser la limite $c$ de la sous-suite convergente $(x_{\phi(n)})$ garantie par le théorème. On montre ensuite que cette limite $c$ est l’objet recherché.
Exemple Majeur : Le Théorème des Bornes Atteintes
Un des résultats les plus célèbres démontrés grâce à Bolzano-Weierstrass est que toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
Théorème : Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$. Alors il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \sup_{x \in [a, b]} f(x)$.
Preuve :
- Construire une suite : Soit $M = \sup_{x \in [a, b]} f(x)$. Par définition du supremum, pour tout entier $n \ge 1$, on peut trouver un élément $x_n \in [a, b]$ tel que $M – \frac{1}{n} < f(x_n) \le M$. (Si $M=+\infty$, on prend $f(x_n) > n$). Par construction, on a une suite de points $(x_n)$ dans $[a, b]$ et on a $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = M$.
- Appliquer Bolzano-Weierstrass : La suite $(x_n)$ est entièrement contenue dans le segment $[a, b]$, elle est donc bornée. D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite $(x_{\phi(n)})$ qui converge vers une limite, notée $c$.
- Propriétés de la limite : Comme tous les termes $x_{\phi(n)}$ sont dans $[a, b]$, la limite $c$ appartient également à $[a, b]$ (car un segment est un intervalle fermé).
- Utiliser la continuité : La fonction $f$ est continue sur $[a, b]$, et en particulier au point $c$. Puisque $x_{\phi(n)} \to c$, la continuité de $f$ implique que $\lim_{n \to \infty} f(x_{\phi(n)}) = f(c)$.
- Conclure : La suite $(f(x_{\phi(n)}))$ est une sous-suite de $(f(x_n))$. Or, nous savons que $(f(x_n))$ converge vers $M$. Donc, toute sous-suite extraite doit aussi converger vers $M$. Par unicité de la limite, on a donc $f(c) = M$.
Cela prouve deux choses à la fois :
- Le supremum $M$ est fini, car $M=f(c)$ et $f(c)$ est un nombre réel. Donc $f$ est majorée.
- Le supremum est atteint au point $c \in [a,b]$.