Appliquer le théorème de comparaison pour les suites

Alors que le théorème des gendarmes est l’outil parfait pour prouver la convergence, le théorème de comparaison est son équivalent pour prouver la divergence vers $+\infty$ ou $-\infty$. L’idée est tout aussi intuitive : si une suite est plus grande qu’une autre qui tend vers $+\infty$, elle est forcément entraînée avec elle vers $+\infty$.

La Stratégie en 3 Étapes

Pour prouver qu’une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ :

1. Étape 1 : Trouver une minoration simple. On cherche une suite $(v_n)$ plus simple que $(u_n)$ qui vérifie $u_n \ge v_n$ (au moins à partir d’un certain rang). Pour cela, on « minimise » l’expression de $u_n$ : on remplace les termes qui s’ajoutent par des constantes plus petites, on ignore les termes soustraits, etc.
2. Étape 2 : Démontrer que la suite simple diverge. On calcule la limite de $(v_n)$ et on montre qu’elle vaut $+\infty$.
3. Étape 3 : Conclure. On applique le théorème de comparaison.

(La stratégie est symétrique pour une divergence vers $-\infty$, il faut alors trouver une majoration simple).

Exemple 1 : Minorer par le terme dominant

Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = n^2 + 3\sin(n)$.

Étape 1 (Minoration) :

Le terme dominant qui semble « tirer » la suite vers l’infini est $n^2$. On cherche à minorer le terme oscillant $3\sin(n)$.
On sait que $\sin(n) \ge -1$, donc $3\sin(n) \ge -3$.
Ainsi, $u_n = n^2 + 3\sin(n) \ge n^2 – 3$.
Nous avons notre suite de comparaison : $v_n = n^2 – 3$.

Étape 2 (Limite de la suite simple) :

$\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 – 3) = +\infty$.

Étape 3 (Conclusion) :

Puisque $u_n \ge v_n$ et que $v_n \to +\infty$, on conclut par le théorème de comparaison que $\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty$.

Exemple 2 : Divergence vers $-\infty$

Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = 5n – 2n^2$.

Étape 1 (Majoration) :

Le terme dominant est $-2n^2$. On cherche à majorer le terme $5n$. On peut par exemple noter que pour $n \ge 5$, on a $n^2 \ge 5n$.
Donc, $5n \le n^2$.
Ainsi, pour $n \ge 5$, on a $u_n = 5n – 2n^2 \le n^2 – 2n^2 = -n^2$.
Notre suite de comparaison est $w_n = -n^2$.

Étape 2 (Limite de la suite simple) :

$\lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} (-n^2) = -\infty$.

Étape 3 (Conclusion) :

Puisque $u_n \le w_n$ (pour $n \ge 5$) et que $w_n \to -\infty$, on conclut par le théorème de comparaison que $\lim_{n \to \infty} u_n = -\infty$.