Arithmétique dans $\mathbb{N}$ – Cours Tronc commun Science

Cours : Arithmétique dans N
Arithmétique dans $\mathbb{N}$

I. Ensemble $\mathbb{N}$ – nombres pairs et nombres impairs

Définition
  1. Les nombres entiers naturels $0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots$ forment un ensemble infini, on le note $\mathbb{N}$, et on a : $$ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,6,7, \ldots\} $$
  2. Les nombres entiers naturels non nuls $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; \ldots$ forment un ensemble infini, on le note $\mathbb{N}^{*}$, et on a : $$ \mathbb{N}^{*}=\{1,2,3,4,5,6,7, \ldots\} $$
Exemple
  1. Les nombres $17 ; 300$ et 2022 sont des entiers naturels. On écrit $17 \in \mathbb{N}$.
  2. Les nombres $-13 ; \frac{5}{2}$ et $\sqrt{2}$ ne sont pas des entiers naturels. On écrit $-13 \notin \mathbb{N}$.
Propriété
  1. 0 est le plus petit entier naturel.
  2. Si $m$ est un entier naturel alors $m$ et $m+1$ sont deux entiers consécutifs.
  3. Si $m$ et $n$ sont deux entiers naturels alors $m+n$ et $m \times n$ sont aussi des entiers naturels, et si $m \geq n$, alors $m-n$ est un entier naturel.
Nombres pairs et impairs
Soit $a$ un entier naturel.
  1. On dit que $a$ est un nombre pair, s’il existe un entier naturel $k$ tel que $a=2k$.
  2. On dit que $a$ est un nombre impair, s’il existe un entier naturel $k$ tel que $a=2k+1$.
Propriétés de parité
Soient $a, b$ et $n$ des entiers naturels avec $a>b$.
  1. Le produit de deux nombres consécutifs est toujours pair.
  2. Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $a+b, a-b, a \times b$ et $a^{n}$ sont pairs.
  3. Si $a$ et $b$ sont impairs, alors $a+b, a-b$ sont pairs et $a \times b, a^{n}$ sont impairs.
  4. Si $a$ est pair et $b$ est impair, alors $a+b, a-b$ sont impairs et $a \times b$ est pair.

II. Multiples et diviseurs d’un entier naturel

Définition
Soient $a \in \mathbb{N}$ et $b \in \mathbb{N}^{*}$. S’il existe un entier naturel $q \in \mathbb{N}$ tel que $a=q \times b$, on dit que :
  • $a$ est un multiple de $b$ ou $a$ est divisible par $b$.
  • $b$ divise $a$ ou $b$ est un diviseur de $a$.

Critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 9

Propriété
  1. Un entier naturel est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
  2. Un entier naturel est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
  3. Un entier naturel est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
  4. Un entier naturel est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
  5. Un entier naturel est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

III. Nombres premiers

Définition
On dit qu’un entier naturel $a$ est un nombre premier, s’il possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Remarque
  1. 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
  2. Tout nombre pair différent de 2 n’est pas un nombre premier.
  3. Pratiquement, un entier naturel $n$ est premier, s’il n’est pas divisible par aucun nombre premier $p$ avec $p \leq \sqrt{n}$.

IV. Décomposition en facteurs premiers

Théorème fondamental de l’arithmétique
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une unique décomposition en produit de facteurs premiers.
Exemple

Décomposons 252 en produit de facteurs premiers.

On peut déduire que $252=2^{2} \times 3^{2} \times 7$.

V. PGCD et PPCM

Plus grand diviseur commun (PGCD)

Définition
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. Le plus grand diviseur commun à $a$ et $b$ est le plus grand entier naturel qui divise $a$ et qui divise $b$, on le note $a \wedge b$ ou $\operatorname{PGCD}(a, b)$.
Calcul du PGCD
Le PGCD de $a$ et $b$ est égal au produit des facteurs premiers communs de $a$ et de $b$, avec pour chacun d’eux, l’exposant le plus petit.

Plus petit commun multiple (PPCM)

Définition
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. Le plus petit commun multiple de $a$ et $b$ est le plus petit entier naturel non nul qui est à la fois multiple de $a$ et de $b$, on le note $a \vee b$ ou $\operatorname{PPCM}(a, b)$.
Calcul du PPCM
Le PPCM de $a$ et $b$ est égal au produit de tous les facteurs premiers (communs ou non) de $a$ et de $b$, avec pour chacun d’eux, l’exposant le plus grand.
Théorème
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. $$ \operatorname{PGCD}(a, b) \times \operatorname{PPCM}(a, b)=a \times b $$