Astuces pour simplifier le calcul d’un déterminant
Le calcul d’un déterminant, surtout pour des matrices de grande taille, peut vite devenir fastidieux. Heureusement, les propriétés des déterminants offrent des outils puissants pour simplifier le travail. L’objectif principal est de faire apparaître des zéros.
La propriété la plus utile est la suivante : un déterminant ne change pas de valeur si l’on ajoute à une ligne (ou une colonne) un multiple d’une autre ligne (ou colonne).
- $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ (la ligne $i$ reçoit la ligne $i$ plus $\lambda$ fois la ligne $j$)
- $C_i \leftarrow C_i + \lambda C_j$ (la colonne $i$ reçoit la colonne $i$ plus $\lambda$ fois la colonne $j$)
On utilise cette technique pour créer des zéros avant de développer par rapport à une ligne ou une colonne.
- Matrices triangulaires : Le déterminant d’une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est simplement le produit de ses éléments diagonaux. C’est l’objectif ultime de la méthode du pivot de Gauss.
- Lignes/Colonnes liées : Si une ligne ou une colonne est une combinaison linéaire d’autres lignes/colonnes (par exemple, si deux lignes sont identiques ou proportionnelles), le déterminant est nul.
Exemple 1 : Créer des zéros avant de développer
Soit le déterminant de la matrice A : $$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 \\ 2 & 5 & 1 & 8 \\ -1 & -1 & 2 & -5 \\ 2 & 4 & 0 & 9 \end{vmatrix} $$
Au lieu de développer directement, on peut créer des zéros dans la 3ème colonne, qui en a déjà deux. On utilise la 2ème ligne comme pivot.
$L_3 \leftarrow L_3 – 2L_2$: $$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 \\ 2 & 5 & 1 & 8 \\ -1 – 2(2) & -1 – 2(5) & 2 – 2(1) & -5 – 2(8) \\ 2 & 4 & 0 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 \\ 2 & 5 & 1 & 8 \\ -5 & -11 & 0 & -21 \\ 2 & 4 & 0 & 9 \end{vmatrix} $$
On peut maintenant développer par rapport à la 3ème colonne :
$\det(A) = (-1)^{2+3} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -5 & -11 & -21 \\ 2 & 4 & 9 \end{vmatrix} = -1 \cdot [ (1(-99) + 2(-42) + 4(-20)) – (2(-11)4 + 4(-21)1 + 9(2)(-5)) ]$
$\det(A) = -1 \cdot [(-99 – 84 – 80) – (-88 – 84 – 90)] = -1 \cdot [-263 – (-262)] = 1$
Exemple 2 : Matrice triangulaire
Calculer le déterminant de B :
$$ B = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$La matrice B est triangulaire supérieure. Il n’y a donc aucun calcul complexe à faire. Il suffit de multiplier les éléments de la diagonale :
$\det(B) = 5 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot 3 = -30$
Exemple 3 : Détecter des colonnes liées
Calculer le déterminant de C :
$$ C = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 7 & -1 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$À première vue, ce déterminant semble compliqué. Mais observons bien les colonnes. On remarque que la troisième colonne est la somme des deux premières : $C_3 = C_1 + C_2$.
Puisqu’une colonne est une combinaison linéaire des autres, les vecteurs colonnes sont linéairement dépendants. Par conséquent, le déterminant de la matrice est nul.
$\det(C) = 0$.
On peut le prouver avec une opération : $C_3 \leftarrow C_3 – C_1 – C_2$.
$$ \det(C) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4-1-3 & 2 \\ 2 & 5 & 7-2-5 & -1 \\ -1 & 2 & 1-(-1)-2 & 0 \\ 4 & 1 & 5-4-1 & 6 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 2 & 5 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 0 $$Une matrice avec une colonne de zéros a un déterminant nul.