Utilisation des Primitives
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $]a, b[$ et $F$ une de ses primitives. L’intégrale généralisée $\int_a^b f(t)dt$ est convergente si et seulement si les limites de $F(x)$ aux bornes $a$ et $b$ existent et sont finies : $$ \lim_{x \to a^+} F(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to b^-} F(x) \quad \text{existent et sont finies.} $$ Dans ce cas, la valeur de l’intégrale est donnée par : $$ \int_a^b f(t)dt = \lim_{x \to b^-} F(x) – \lim_{x \to a^+} F(x) $$
Intégration par Parties
Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $C^1$ sur $]a, b[$. On suppose que la limite du produit $u(x)v(x)$ existe aux bornes $a$ et $b$.
Alors, l’intégrale $\int_a^b u(t)v'(t)dt$ est convergente si et seulement si l’intégrale $\int_a^b u'(t)v(t)dt$ est convergente. On a alors : $$ \int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b u'(x)v(x)dx $$ où $[u(x)v(x)]_a^b = \lim_{x \to b^-} u(x)v(x) – \lim_{x \to a^+} u(x)v(x)$.
Intégration par Changement de Variables
Soient $f: ]a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue et $\varphi: ]\alpha, \beta[ \to ]a,b[$ une bijection de classe $C^1$. On suppose que les limites de $\varphi$ aux bornes sont $\lim_{t \to \alpha^+} \varphi(t) = a$ et $\lim_{t \to \beta^-} \varphi(t) = b$.
Alors, l’intégrale $\int_a^b f(x)dx$ est convergente si et seulement si l’intégrale $\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$ est convergente. Dans ce cas, elles sont égales : $$ \int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$