Une fonction composée, notée $g \circ f$ (lire « g rond f »), est le résultat de l’application successive de deux fonctions. Si $h(x) = g(f(x))$, on dit que $h$ est la composée de $f$ suivie de $g$. La dériver demande une formule spécifique, la dérivée en chaîne.
Si $f$ est une fonction dérivable en $x$ et $g$ est une fonction dérivable en $f(x)$, alors la fonction composée $h = g \circ f$ est dérivable en $x$ et sa dérivée est : $$h'(x) = (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \times f'(x)$$
Moyen mnémotechnique : « On dérive la fonction extérieure $g$ en lui laissant son contenu $f(x)$, puis on multiplie par la dérivée du contenu $f'(x)$. »
La Stratégie en 3 Étapes
- Identifier les fonctions : On identifie la fonction « extérieure » (la dernière opération effectuée) et la fonction « intérieure » (ce qui est à l’intérieur). Soit $h(x) = g(f(x))$.
- Calculer les dérivées séparément : On calcule $g'(t)$ et $f'(x)$.
- Appliquer la formule : On assemble les morceaux : on prend l’expression de $g’$, on remplace sa variable par l’expression de $f(x)$, et on multiplie le tout par l’expression de $f'(x)$.
Calculer la dérivée de $h(x) = (x^3 + 5x)^4$.
- Identification :
- Fonction intérieure : $f(x) = x^3 + 5x$.
- Fonction extérieure : $g(t) = t^4$.
- Dérivées :
- $f'(x) = 3x^2 + 5$.
- $g'(t) = 4t^3$.
- Application :
$h'(x) = g'(f(x)) \times f'(x)$
$h'(x) = 4(f(x))^3 \times (3x^2+5)$
$h'(x) = 4(x^3+5x)^3 (3x^2+5)$.
Cas général à retenir : $(u^n)’ = n \cdot u^{n-1} \cdot u’$
Calculer la dérivée de $h(x) = e^{x^2-3x}$.
- Identification :
- Fonction intérieure : $f(x) = x^2 – 3x$.
- Fonction extérieure : $g(t) = e^t$.
- Dérivées :
- $f'(x) = 2x – 3$.
- $g'(t) = e^t$.
- Application :
$h'(x) = g'(f(x)) \times f'(x)$
$h'(x) = e^{f(x)} \times (2x-3)$
$h'(x) = (2x-3)e^{x^2-3x}$.
Cas général à retenir : $(e^u)’ = u’ e^u$