Calculer la Distance d’un Vecteur à un Sous-Espace
La distance d’un vecteur $v$ à un sous-espace vectoriel $F$ est la plus petite distance possible entre $v$ et n’importe quel point de $F$. Cette distance minimale est atteinte en un point unique : la projection orthogonale de $v$ sur $F$. Le calcul de cette distance est donc une conséquence directe du calcul de la projection.
La distance du vecteur $v$ au sous-espace $F$, notée $d(v, F)$, est la norme du vecteur qui relie $v$ à son projeté sur $F$.
- Formule 1 (définition) : On calcule la projection orthogonale $p_F(v)$ de $v$ sur $F$. La distance est alors :
$d(v, F) = \|v – p_F(v)\|$. - Formule 2 (souvent plus rapide) : On utilise le fait que $v – p_F(v) = p_{F^\perp}(v)$, où $F^\perp$ est le supplémentaire orthogonal de $F$. La distance est donc aussi la norme de la projection de $v$ sur l’orthogonal de $F$ :
$d(v, F) = \|p_{F^\perp}(v)\|$.
On choisit la formule la plus simple en fonction de la situation : si $F^\perp$ est plus simple que $F$ (par exemple une droite vs un plan), la deuxième formule est préférable.
Exemple 1 : Distance d’un point à une droite dans $\mathbb{R}^3$
Calculons la distance du vecteur $v=(1, 2, 3)$ à la droite $F = \text{Vect}(u)$ où $u=(1, 1, 0)$.
Ici, $F$ est une droite (dimension 1). Il est simple de calculer $p_F(v)$. On utilise donc la Formule 1.
1. Calculer la projection sur F :
$p_F(v) = \frac{\langle v, u \rangle}{\|u\|^2} u = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0}{1^2+1^2+0^2} (1,1,0) = \frac{3}{2}(1,1,0) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0)$.
2. Calculer le vecteur $v – p_F(v)$ :
$v – p_F(v) = (1, 2, 3) – (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 3)$.
3. Calculer la norme :
$d(v,F) = \|v – p_F(v)\| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 3^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 9} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{18}{2}} = \sqrt{\frac{19}{2}}$.
Exemple 2 : Distance d’un point à un plan dans $\mathbb{R}^3$
Calculons la distance du vecteur $v=(5, 3, 0)$ au plan $F$ d’équation $x – 2y + z = 0$.
Ici, $F$ est un plan (dimension 2) mais son orthogonal $F^\perp$ est la droite dirigée par le vecteur normal $n=(1, -2, 1)$ (dimension 1). Il est beaucoup plus simple de projeter sur $F^\perp$. On utilise la Formule 2.
1. Calculer la projection sur $F^\perp$ :
$p_{F^\perp}(v) = \frac{\langle v, n \rangle}{\|n\|^2} n = \frac{5 \cdot 1 + 3(-2) + 0 \cdot 1}{1^2+(-2)^2+1^2} (1,-2,1) = \frac{5-6}{1+4+1} (1,-2,1) = -\frac{1}{6}(1,-2,1)$.
2. Calculer la norme de ce projeté :
$d(v,F) = \|p_{F^\perp}(v)\| = \|-\frac{1}{6}(1,-2,1)\| = |-\frac{1}{6}| \cdot \|(1,-2,1)\| = \frac{1}{6} \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.
Exemple 3 : Distance à un sous-espace de $\mathbb{R}^4$
Calculons la distance de $v=(1,0,0,0)$ à $F = \text{Vect}(v_1, v_2)$ où $v_1=(1,1,0,0)$ et $v_2=(0,1,1,0)$.
Nous avons déjà calculé la projection de $v$ sur $F$ dans un article précédent. Nous avions trouvé $p_F(v) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, 0)$. Utilisons la Formule 1.
1. Calculer le vecteur $v – p_F(v)$ :
$v – p_F(v) = (1,0,0,0) – (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, 0) = (\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0)$.
2. Calculer la norme :
$d(v,F) = \|v – p_F(v)\| = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Ce que nous calculons n’est pas juste une distance, c’est la meilleure approximation de $v$ par un vecteur de $F$.
Le théorème dit que pour tout vecteur $u \in F$ différent de $p_F(v)$, on a toujours :
$\|v – u\| > \|v – p_F(v)\|$.
C’est ce principe qui est à la base de la méthode des moindres carrés, utilisée partout en sciences pour trouver la solution « la plus proche » d’un système d’équations qui n’a pas de solution exacte.