Calculer la puissance d’une matrice ($A^n$) grâce à la diagonalisation
Calculer la puissance $n$-ième d’une matrice, $A^n$, peut être très fastidieux. Cependant, si la matrice $A$ est diagonalisable, il existe une méthode élégante et rapide pour obtenir une formule générale pour $A^n$.
Si une matrice $A$ est diagonalisable, alors il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$. L’astuce consiste à voir que les termes $P^{-1}P$ s’annulent au centre lorsqu’on élève $A$ à une puissance :
$A^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1}) = PD(P^{-1}P)DP^{-1} = PDIDP^{-1} = PD^2P^{-1}$
En généralisant, on obtient la formule clé :
$A^n = PD^nP^{-1}$
L’avantage est que calculer $D^n$ est trivial : il suffit d’élever ses éléments diagonaux à la puissance $n$.
Exemple 1 : Matrice 2×2
Reprenons la matrice diagonalisable $ A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $. Nous savons qu’elle se diagonalise avec : $ D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $ et $ P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $.
1. Calcul de $P^{-1}$ : Pour une matrice 2×2, l’inverse est $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. $P^{-1} = \frac{1}{1-2} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.
2. Calcul de $D^n$ : C’est l’étape facile. $ D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} $.
3. Assemblage final : On calcule $A^n = PD^nP^{-1}$.
$ A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $
$ A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 2 \cdot 3^n \\ 2^n & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $
$ A^n = \begin{pmatrix} -2^n + 2 \cdot 3^n & 2 \cdot 2^n – 2 \cdot 3^n \\ -2^n + 3^n & 2 \cdot 2^n – 3^n \end{pmatrix} $.
Nous avons obtenu une formule explicite pour n’importe quelle puissance de $A$ !
Exemple 2 : Matrice 3×3
Soit $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Ses valeurs propres sont $\lambda_1 = 2$ et $\lambda_2 = -1$ (multiplicité 2). Elle est diagonalisable avec : $ D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $ et $ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} $.
1. Calcul de $P^{-1}$ : Après calcul (par exemple avec la comatrice), on trouve $P^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$.
2. Calcul de $D^n$ : $ D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^n & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^n \end{pmatrix} $.
3. Assemblage final : $A^n = PD^nP^{-1}$. Le calcul est plus long mais direct.
$ A^n = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^n & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} $
Après multiplication, on obtient :
$ A^n = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2^n+2(-1)^n & 2^n-(-1)^n & 2^n-(-1)^n \\ 2^n-(-1)^n & 2^n+2(-1)^n & 2^n-(-1)^n \\ 2^n-(-1)^n & 2^n-(-1)^n & 2^n+2(-1)^n \end{pmatrix} $.
Exemple 3 : Application aux suites récurrentes
Considérons deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1, v_0=0$ et les relations :
$ u_{n+1} = 4u_n – 2v_n $
$ v_{n+1} = u_n + v_n $
On peut écrire ce système sous forme matricielle : $ \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ v_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $. Si on pose $X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, on a $X_{n+1} = AX_n$. Par récurrence immédiate, on trouve que $X_n = A^n X_0$.
Nous avons déjà calculé $A^n$ dans l’exemple 1. On peut donc trouver $u_n$ et $v_n$ : $ \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2^n + 2 \cdot 3^n & 2 \cdot 2^n – 2 \cdot 3^n \\ -2^n + 3^n & 2 \cdot 2^n – 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $.
En effectuant le produit, on obtient les termes explicites des suites :
$ u_n = -2^n + 2 \cdot 3^n $
$ v_n = -2^n + 3^n $
Calculer $A^n$ via la diagonalisation n’est pas seulement un exercice de calcul. C’est une méthode fondamentale pour résoudre les systèmes de suites récurrentes linéaires, comprendre l’évolution à long terme des systèmes (comme les chaînes de Markov) et même définir des fonctions de matrices comme l’exponentielle de matrice ($e^A$).