Calculer la Trace d’une Matrice et Utiliser ses Propriétés
La trace d’une matrice carrée est l’un des concepts les plus simples de l’algèbre linéaire : c’est la somme de ses éléments diagonaux. Derrière cette simplicité se cache un outil puissant, un invariant qui révèle des informations profondes sur la matrice et l’endomorphisme qu’elle représente.
Pour une matrice carrée $A = (a_{ij})$ de taille $n \times n$, sa trace, notée $\text{tr}(A)$, est la somme des coefficients de sa diagonale principale :
$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}$
- Linéarité : La trace est une forme linéaire. Pour toutes matrices $A, B$ et tout scalaire $\lambda$ :
$\text{tr}(A+B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$
$\text{tr}(\lambda A) = \lambda \text{tr}(A)$ - Invariance par permutation cyclique :
$\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$. Attention, en général $AB \neq BA$ ! - Invariance par similitude : Si $P$ est une matrice inversible :
$\text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(A)$. C’est pourquoi la trace d’un endomorphisme ne dépend pas de la base choisie. - Lien avec les valeurs propres : La trace d’une matrice est égale à la somme de ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité algébrique).
Exemple 1 : Calcul direct
Soit $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 4 & -2 & -3 \end{pmatrix}$.
On additionne simplement les éléments de la diagonale :
$\text{tr}(A) = 5 + 0 + (-3) = 2$.
Exemple 2 : Utiliser l’invariance cyclique
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.
Calculons $\text{tr}(AB)$ et $\text{tr}(BA)$ :
$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 19 & -4 \end{pmatrix}$.
$\text{tr}(AB) = 7 + (-4) = 3$.
$BA = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$.
$\text{tr}(BA) = 5 + (-2) = 3$.
On vérifie bien que $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$, même si les matrices $AB$ et $BA$ sont très différentes.
Exemple 3 : Vérifier la somme des valeurs propres
Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$. Nous avons déjà vu que son polynôme caractéristique est $\chi_A(X) = -(X-3)^2(X-1)$.
Les valeurs propres sont $\lambda_1=3$ (multiplicité 2) et $\lambda_2=1$ (multiplicité 1).
La somme des valeurs propres est $3 + 3 + 1 = 7$.
Calculons la trace de $A$ :
$\text{tr}(A) = 2 + 3 + 2 = 7$.
La propriété est vérifiée. C’est un excellent moyen de détecter une erreur de calcul dans son polynôme caractéristique : si la somme des racines ne correspond pas à la trace, le polynôme est faux !