Calculer le Déterminant d’une Matrice Triangulaire par Blocs
Calculer le déterminant d’une grande matrice peut être long et fastidieux. Heureusement, si la matrice présente une structure particulière, comme être triangulaire par blocs, le calcul peut être considérablement simplifié en le décomposant en calculs de déterminants de plus petite taille.
Soit $M$ une matrice carrée partitionnée en quatre blocs $A, B, C, D$ où les blocs diagonaux $A$ et $D$ sont carrés.
$M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$.
- Si la matrice est triangulaire supérieure par blocs (c’est-à-dire que le bloc $C$ est la matrice nulle), alors :
$\det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} = \det(A) \times \det(D)$. - Si la matrice est triangulaire inférieure par blocs (c’est-à-dire que le bloc $B$ est la matrice nulle), alors :
$\det \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D \end{pmatrix} = \det(A) \times \det(D)$.
Cette règle s’applique aussi aux matrices diagonales par blocs (où $B=0$ et $C=0$).
Exemple 1 : Matrice 4×4 triangulaire supérieure par blocs
Soit la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$.
On identifie les blocs $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
$\det(A) = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = 4 – 6 = -2$.
$\det(D) = -1 \cdot 3 – 0 \cdot 2 = -3$.
Conclusion : $\det(M) = \det(A) \times \det(D) = (-2) \times (-3) = 6$.
Exemple 2 : Matrice 4×4 triangulaire inférieure par blocs
Soit la matrice $M = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 & -1 \end{pmatrix}$.
Ici, la structure est différente. On peut la voir comme des blocs de tailles 1×1 et 3×3.
$A = \begin{pmatrix} 5 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \end{pmatrix}$.
$\det(A) = 5$.
$\det(D) = 1(1(-1) – 1(4)) – 2(3(-1) – 1(0)) + 0 = 1(-5) – 2(-3) = -5 + 6 = 1$.
Conclusion : $\det(M) = \det(A) \times \det(D) = 5 \times 1 = 5$.
Exemple 3 : Identifier la structure dans une matrice 5×5
Soit la matrice $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 4 & 8 & 9 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 7 \end{pmatrix}$.
On observe un grand bloc de zéros en bas à gauche. On peut donc partitionner la matrice comme suit :
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 6 & 7 \end{pmatrix}$.
$\det(A) = 2 \cdot 4 – 1 \cdot 3 = 8 – 3 = 5$.
Pour $\det(D)$, on peut développer selon la première colonne : $\det(D) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} = 1 \cdot (28 – 30) = -2$.
Conclusion : $\det(M) = \det(A) \times \det(D) = 5 \times (-2) = -10$.
- Condition essentielle : Les blocs sur la diagonale ($A$ et $D$) doivent être carrés. Les blocs hors diagonale ($B$ et $C$) n’ont pas besoin de l’être.
- Attention : La formule ne se généralise pas comme on pourrait l’espérer. En général, $\det \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \neq \det(A)\det(D) – \det(B)\det(C)$.
- Généralisation : Cette règle s’étend aux matrices triangulaires par blocs avec plus de blocs sur la diagonale. Le déterminant est alors le produit des déterminants de tous les blocs diagonaux.