Le noyau d’une application linéaire $f$, noté $\ker(f)$, est l’un des sous-espaces les plus importants associés à $f$. Il rassemble tous les vecteurs de l’espace de départ qui sont « écrasés » sur le vecteur nul de l’espace d’arrivée. Le calculer est une étape essentielle pour comprendre le comportement de l’application, notamment pour savoir si elle est injective.
Soit $f: E \to F$ une application linéaire. Par définition, le noyau de $f$ est l’ensemble des vecteurs $u$ de $E$ dont l’image par $f$ est le vecteur nul de $F$.
$\ker(f) = \{ u \in E \mid f(u) = 0_F \}$
La méthode pour le déterminer est la suivante :
- Prendre un vecteur générique $u$ dans l’espace de départ $E$ (par exemple $u=(x,y)$ pour $\mathbb{R}^2$).
- Poser l’équation $f(u) = 0_F$.
- Traduire cette équation vectorielle en un système d’équations linéaires homogène (c’est-à-dire avec des zéros comme seconds membres).
- Résoudre ce système pour trouver les relations entre les composantes de $u$.
- Exprimer l’ensemble des solutions sous la forme d’un sous-espace vectoriel, souvent en utilisant la notation $Vect(\dots)$.
Exemple : Noyau d’une application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$
Soit l’application $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $g(x, y, z) = (x+y-z, 2x+z)$. Calculons son noyau.
1. Poser l’équation $g(u) = 0$ :
On cherche les vecteurs $u=(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ tels que $g(x,y,z) = (0,0)$.
$(x+y-z, 2x+z) = (0,0)$.
2. Traduire en système linéaire :
Cela nous donne le système de deux équations à trois inconnues :
- (1) : $x + y – z = 0$
- (2) : $2x + z = 0$
3. Résoudre le système :
De l’équation (2), on exprime $z$ en fonction de $x$ : $z = -2x$.
On remplace $z$ dans l’équation (1) pour trouver $y$ :
$x + y – (-2x) = 0 \implies x + y + 2x = 0 \implies 3x + y = 0 \implies y = -3x$.
On a maintenant exprimé $y$ et $z$ en fonction de $x$. La variable $x$ peut être choisie librement (c’est notre paramètre).
4. Décrire le noyau :
Un vecteur $u=(x,y,z)$ du noyau est donc de la forme $(x, -3x, -2x)$.
On peut mettre $x$ en facteur : $u = x \cdot (1, -3, -2)$.
Cela signifie que tous les vecteurs du noyau sont des multiples du vecteur $(1, -3, -2)$.
Le noyau de $g$ est la droite vectorielle engendrée par le vecteur $(1, -3, -2)$. On l’écrit :
$\ker(g) = Vect((1, -3, -2))$.
Puisque le noyau n’est pas réduit au vecteur nul, on peut aussi en déduire que l’application $g$ n’est pas injective.