Calculer le rang d’une matrice avec le pivot de Gauss
Le rang d’une matrice est le nombre maximum de ses vecteurs colonnes (ou lignes) qui sont linéairement indépendants. Une méthode systématique et efficace pour déterminer le rang est l’algorithme du pivot de Gauss, qui consiste à transformer la matrice en une forme « échelonnée » sans changer son rang.
- Utiliser des opérations élémentaires sur les lignes pour créer des zéros sous le premier élément non nul (le « pivot ») de chaque colonne.
- Les opérations autorisées qui ne changent pas le rang sont : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, et ajouter un multiple d’une ligne à une autre.
- Continuer le processus jusqu’à obtenir une matrice échelonnée (tous les éléments sous les pivots sont nuls).
- Le rang de la matrice est alors simplement le nombre de pivots (ou de lignes non entièrement nulles) dans la matrice échelonnée.
Exemple de calcul :
Soit la matrice A : $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} $$
On applique le pivot de Gauss. On veut créer des zéros dans la première colonne sous le premier pivot (qui est 1).
Opérations : $L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 – L_1$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$
Maintenant, on veut créer un zéro sous le deuxième pivot (le 1 en deuxième ligne, deuxième colonne).
Opération : $L_3 \leftarrow L_3 + L_2$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
La matrice est maintenant échelonnée. Elle a deux lignes non nulles, et donc deux pivots. Le rang de la matrice A est donc 2.