Calculer un déterminant 4×4 par développement
Pour calculer le déterminant d’une matrice de taille supérieure à 3×3, la règle de Sarrus ne s’applique plus. La méthode la plus courante est le développement par rapport à une ligne ou une colonne (aussi appelée méthode des cofacteurs ou développement de Laplace).
Le déterminant d’une matrice $A$ de taille $n \times n$ peut être calculé en choisissant une ligne $i$ ou une colonne $j$ et en appliquant l’une des formules suivantes :
- Développement selon la ligne $i$: $\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$
- Développement selon la colonne $j$: $\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$
Où $a_{ij}$ est l’élément à la ligne $i$ et colonne $j$, et $C_{ij}$ est son cofacteur, donné par $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$. $M_{ij}$ est le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$.
Le signe $(-1)^{i+j}$ suit un motif en damier :
Astuce : Pour minimiser les calculs, choisissez toujours la ligne ou la colonne contenant le plus de zéros.
Exemple 1 : Cas général
Calculons le déterminant de la matrice A : $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$
Développons par rapport à la première colonne (elle contient un zéro).
$\det(A) = 1 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{21} + 2 \cdot C_{31} + 1 \cdot C_{41}$
$\det(A) = 1 \cdot (+1) \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} + 0 – 2 \cdot (+1) \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1) \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
Calcul des déterminants 3×3 :
- $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (0+0+2) – (0+2+4) = -4$
- $\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (12+0+4) – (0+6+1) = 16 – 7 = 9$
- $\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (12+1+0) – (8+0+1) = 13 – 9 = 4$
Résultat final :
$\det(A) = 1 \cdot (-4) – 2 \cdot (9) – 1 \cdot (4) = -4 – 18 – 4 = -26$
Exemple 2 : Utiliser les zéros à son avantage
Soit la matrice B :
$$B = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$La troisième colonne est le choix idéal car elle contient trois zéros. Le développement sera très rapide.
$\det(B) = 0 \cdot C_{13} + (-1) \cdot C_{23} + 0 \cdot C_{33} + 0 \cdot C_{43}$
Il ne reste qu’un seul terme à calculer. Le signe pour le cofacteur $C_{23}$ est $(-1)^{2+3} = -1$.
$\det(B) = (-1) \cdot (-1) \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix}$
Calcul du déterminant 3×3 :
$\det = (2 \cdot 1 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 3 \cdot 4) – (0 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 5)$
$\det = (2 + 0 + 12) – (0 – 16 + 15) = 14 – (-1) = 15$
Donc, $\det(B) = 15$.
Le calcul d’un déterminant 4×4 se ramène au calcul de plusieurs déterminants 3×3. La clé pour travailler efficacement est de choisir la ligne ou la colonne avec le plus de zéros pour réduire considérablement le nombre de calculs nécessaires.