Appliquer la réduction de Gauss à une forme quadratique
Une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2. La réduire avec la méthode de Gauss consiste à la réécrire comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. L’objectif est de transformer une expression complexe avec des « termes rectangles » (comme $xy$) en une somme ou différence de carrés parfaits.
La méthode est itérative. Pour une forme quadratique $q(x_1, \dots, x_n)$ :
- Cas 1 : Il existe un carré (ex: $ax_1^2$). On regroupe tous les termes contenant $x_1$ et on « force » l’apparition d’un carré en utilisant une identité remarquable. On obtient $q(X) = a(L_1(X))^2 + q'(X’)$, où $L_1$ est une forme linéaire et $q’$ est une forme quadratique ne dépendant plus que des autres variables. On recommence alors le processus sur $q’$.
- Cas 2 : Il n’y a aucun carré (ex: $axy + …$). On choisit un terme rectangle, par exemple $ax_1x_2$. On effectue le changement de variables $x_1 = u+v$ et $x_2=u-v$. Ce changement a pour but de faire apparaître des carrés $u^2$ et $v^2$, nous ramenant ainsi au Cas 1. On effectue la réduction avec les nouvelles variables, puis on revient aux variables d’origine.
On répète le processus jusqu’à ce qu’il ne reste plus de variables.
Exemple 1 : Cas avec des carrés
Soit la forme quadratique $q(x, y, z) = x^2 + 5y^2 + 2z^2 + 4xy – 2xz + 8yz$.
1. On s’occupe de $x$ : On regroupe tous les termes en $x$.
$q(x, y, z) = (x^2 + 4xy – 2xz) + 5y^2 + 2z^2 + 8yz$.
On voit le début de $(x + 2y – z)^2 = x^2 + 4y^2 + z^2 + 4xy – 2xz – 4yz$.
Donc, $(x^2 + 4xy – 2xz) = (x + 2y – z)^2 – 4y^2 – z^2 + 4yz$.
2. On substitue et on simplifie :
$q(x, y, z) = [(x + 2y – z)^2 – 4y^2 – z^2 + 4yz] + 5y^2 + 2z^2 + 8yz$
$q(x, y, z) = (x + 2y – z)^2 + y^2 + z^2 + 12yz$.
3. On recommence sur $q'(y, z) = y^2 + z^2 + 12yz$ :
$q'(y, z) = (y^2 + 12yz) + z^2 = (y+6z)^2 – 36z^2 + z^2 = (y+6z)^2 – 35z^2$.
4. Résultat final :
$q(x, y, z) = (x + 2y – z)^2 + (y+6z)^2 – 35z^2$.
Exemple 2 : Cas sans aucun carré
Soit la forme quadratique $q(x, y, z) = 2xy + 4xz – 6yz$.
1. On choisit un terme, par exemple $2xy$, et on fait apparaître des carrés.
On regroupe les termes contenant $x$ : $2x(y+2z) – 6yz$.
Ici, on peut utiliser l’identité $2ab = (a+b)^2 – a^2 – b^2$ en posant $a=x$ et $b=y+2z$, mais c’est lourd.
L’astuce standard est de poser $x=u+v$ et $y=u-v$, mais cela ne fonctionne que pour le terme $xy$.
Une autre approche : on force un produit de deux formes linéaires.
$(x-3z)(2y+4z) = 2xy+4xz-6yz-12z^2$.
On a donc $2xy+4xz-6yz = (x-3z)(2y+4z) + 12z^2$.
2. On utilise l’identité $AB = \frac{1}{4}((A+B)^2 – (A-B)^2)$ :
Soit $A=x-3z$ et $B=2y+4z$.
$A+B = x+2y+z$ et $A-B = x-2y-7z$.
$(x-3z)(2y+4z) = \frac{1}{4}[(x+2y+z)^2 – (x-2y-7z)^2]$.
3. Résultat final :
$q(x, y, z) = \frac{1}{4}(x+2y+z)^2 – \frac{1}{4}(x-2y-7z)^2 + 12z^2$.
Exemple 3 : Cas où les termes se simplifient
Soit $q(x, y, z) = x^2 – y^2 + 4xy + 4yz$.
1. On s’occupe de $x$ :
$q(x, y, z) = (x^2 + 4xy) – y^2 + 4yz$.
$q(x, y, z) = (x+2y)^2 – 4y^2 – y^2 + 4yz = (x+2y)^2 – 5y^2 + 4yz$.
2. On recommence sur $q'(y, z) = -5y^2 + 4yz$ :
$q'(y, z) = -5(y^2 – \frac{4}{5}yz) = -5[(y – \frac{2}{5}z)^2 – \frac{4}{25}z^2]$.
$q'(y, z) = -5(y – \frac{2}{5}z)^2 + \frac{4}{5}z^2$.
3. Résultat final :
$q(x, y, z) = (x+2y)^2 – 5(y – \frac{2}{5}z)^2 + \frac{4}{5}z^2$.
La décomposition de Gauss n’est pas unique, mais deux informations restent les mêmes quelle que soit la méthode :
– Le rang de la forme quadratique, qui est le nombre de carrés non nuls dans la décomposition.
– La signature $(s, t)$, où $s$ est le nombre de carrés positifs et $t$ le nombre de carrés négatifs. (Théorème d’inertie de Sylvester).
- Exemple 1 : $q = L_1^2 + L_2^2 – 35L_3^2$. Rang = 3, Signature = (2, 1).
- Exemple 2 : $q = \frac{1}{4}L_1^2 – \frac{1}{4}L_2^2 + 12L_3^2$. Rang = 3, Signature = (2, 1).
- Exemple 3 : $q = L_1^2 – 5L_2^2 + \frac{4}{5}L_3^2$. Rang = 3, Signature = (2, 1).