Comment appliquer le théorème de Rolle

Comment Appliquer le Théorème de Rolle

Le théorème de Rolle est un résultat d’existence qui garantit qu’une courbe « lisse » qui part d’une altitude et arrive à la même altitude doit avoir au moins un point intermédiaire où sa tangente est horizontale.

Énoncé du Théorème de Rolle

Soit $f$ une fonction et $[a, b]$ un segment. Si les trois conditions suivantes sont remplies :

  1. $f$ est continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$.
  2. $f$ est dérivable sur l’intervalle ouvert $]a, b[$.
  3. $f(a) = f(b)$ (la fonction prend la même valeur aux bornes).

Alors, il existe au moins un réel $c$ dans l’intervalle ouvert $]a, b[$ tel que : $$f'(c) = 0$$

Illustration du Théorème de Rolle a b f(a)=f(b) c f'(c)=0

La Stratégie d’Application

  1. Vérifier la continuité : On justifie que $f$ est continue sur le segment $[a, b]$. Pour les polynômes, fonctions trigonométriques, etc., c’est généralement immédiat.
  2. Vérifier la dérivabilité : On justifie que $f$ est dérivable sur l’intervalle ouvert $]a, b[$.
  3. Vérifier l’égalité aux bornes : On calcule $f(a)$ et $f(b)$ et on s’assure qu’ils sont égaux.
  4. Appliquer le théorème : Si les trois conditions sont validées, on peut affirmer qu’il existe un $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c)=0$.
  5. Trouver $c$ (si demandé) : On calcule la fonction dérivée $f'(x)$ et on résout l’équation $f'(x)=0$. On vérifie que les solutions trouvées appartiennent bien à l’intervalle $]a, b[$.
Exemple d’Application

Appliquer le théorème de Rolle à la fonction $f(x) = x^2 – 6x + 5$ sur l’intervalle $[1, 5]$.

  1. Continuité : $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ et en particulier sur $[1, 5]$.
  2. Dérivabilité : $f$ est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et en particulier sur $]1, 5[$.
  3. Égalité aux bornes :
    • $f(1) = 1^2 – 6(1) + 5 = 1 – 6 + 5 = 0$.
    • $f(5) = 5^2 – 6(5) + 5 = 25 – 30 + 5 = 0$.
    On a bien $f(1) = f(5)$.
  4. Application : Les trois conditions sont remplies. Le théorème de Rolle nous garantit l’existence d’un $c \in ]1, 5[$ tel que $f'(c)=0$.
  5. Recherche de $c$ :
    On calcule la dérivée : $f'(x) = 2x – 6$.
    On résout $f'(c) = 0 \iff 2c – 6 = 0 \iff 2c = 6 \iff c=3$.
    La valeur $c=3$ appartient bien à l’intervalle ouvert $]1, 5[$.

Conclusion : On a trouvé une valeur $c=3$ pour laquelle la dérivée s’annule, ce qui confirme la prédiction du théorème.