Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est l’un des résultats les plus intuitifs et puissants sur les fonctions continues. Il affirme qu’une fonction continue sur un intervalle « ne saute aucune valeur ». Son application principale est de prouver l’existence de solutions à des équations de la forme $f(x) = k$.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ dans l’intervalle $[a, b]$ tel que :
$$f(c) = k$$
Cas Particulier Fréquent : Le Corollaire du TVI (ou Théorème de Bolzano)
L’application la plus courante du TVI est de montrer qu’une équation $f(x)=0$ admet une solution.
Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés (c’est-à-dire $f(a) \cdot f(b) < 0$), alors il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que $f(c) = 0$.
La Stratégie en 3 Étapes (pour trouver un zéro)
- Poser la fonction : Transformer l’équation en $f(x)=0$ et définir la fonction $f$.
- Justifier la continuité : Vérifier que $f$ est continue sur un intervalle $[a, b]$ bien choisi.
- Changement de signe : Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et montrer qu’ils sont de signes contraires.
Si ces trois conditions sont remplies, on peut conclure que l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]a, b[$.
- Poser la fonction : L’équation est équivalente à $x^3 + x – 1 = 0$. On pose $f(x) = x^3 + x – 1$.
- Justifier la continuité : $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ tout entier, et en particulier sur n’importe quel intervalle $[a, b]$. On cherche un intervalle simple. Essayons $[0, 1]$.
-
Changement de signe :
- $f(0) = 0^3 + 0 – 1 = -1$
- $f(1) = 1^3 + 1 – 1 = 1$
- Conclusion : $f$ est continue sur $[0, 1]$ et $f(0) \cdot f(1) < 0$. Donc, d'après le corollaire du TVI, il existe au moins un réel $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$. L'équation admet donc au moins une solution.
Le TVI garantit l’existence d’une solution, mais pas son unicité. Pour prouver qu’il n’y a qu’une seule solution, il faut une information supplémentaire.
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue ET strictement monotone sur $[a, b]$, alors pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c)=k$.
Dans l’exemple précédent, $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$, donc $f$ est strictement croissante. On peut donc conclure que la solution $c$ est unique.