Comment Calculer la Valeur Moyenne d’une Fonction
La valeur moyenne d’une fonction continue $f$ sur un intervalle $[a, b]$ est la hauteur d’un rectangle qui aurait la même aire que l’aire sous la courbe de la fonction sur ce même intervalle. C’est une notion fondamentale en calcul intégral.
La valeur moyenne $v_m$ d’une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a, b]$ est donnée par la formule : $$ v_m = \frac{1}{b – a} \int_{a}^{b} f(x) \,dx $$
Intuitivement : on calcule l’aire totale sous la courbe (l’intégrale) et on la divise par la largeur de l’intervalle pour trouver la « hauteur moyenne ».
Pour trouver la valeur moyenne d’une fonction $f$ sur $[a, b]$, suivez ces étapes :
- Identifier les bornes : Déterminez les valeurs de $a$ et $b$ qui définissent l’intervalle.
- Calculer l’intégrale définie : Évaluez l’intégrale de la fonction sur cet intervalle : $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$.
- Diviser par la longueur de l’intervalle : Multipliez le résultat de l’intégrale par le facteur $\frac{1}{b – a}$.
- Identification :
La fonction est $f(x) = x^2$.
L’intervalle est $[0, 3]$, donc $a=0$ et $b=3$. - Calcul de l’intégrale :
D’abord, on trouve une primitive de $x^2$, qui est $\frac{x^3}{3}$.
Ensuite, on calcule l’intégrale définie : $$ \int_{0}^{3} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} – 0 = 9 $$ L’aire sous la courbe est de 9 unités d’aire. - Division :
La longueur de l’intervalle est $b-a = 3 – 0 = 3$.
On divise le résultat de l’intégrale par cette longueur : $$ v_m = \frac{1}{3} \times 9 = 3 $$
Conclusion : La valeur moyenne de la fonction $f(x) = x^2$ sur l’intervalle $[0, 3]$ est 3.