Calculer le Déterminant de Vandermonde
La matrice de Vandermonde est une matrice carrée avec une structure très particulière basée sur une progression géométrique dans chaque ligne. Son déterminant possède une formule explicite magnifique qui est très utile en analyse numérique, notamment pour l’interpolation polynomiale.
La matrice de Vandermonde $V(x_1, \dots, x_n)$ de taille $n \times n$ est définie par :
$V = \begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1}
\end{pmatrix}$
Son déterminant est le produit de toutes les différences possibles $(x_j – x_i)$ avec $j > i$ :
$\det(V) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$
Exemple 1 : Le cas 3×3
Soit $V(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix}$.
D’après la formule, les paires $(i,j)$ avec $i
$\det(V) = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2) = (y-x)(z-x)(z-y)$.
Preuve par calcul direct :
On effectue les opérations sur les colonnes $C_2 \leftarrow C_2 – xC_1$ et $C_3 \leftarrow C_3 – xC_2$.
$\det(V) = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & y-x & y^2-xy \\ 1 & z-x & z^2-xz \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} y-x & y(y-x) \\ z-x & z(z-x) \end{pmatrix}$
$= (y-x)(z-x) \det\begin{pmatrix} 1 & y \\ 1 & z \end{pmatrix} = (y-x)(z-x)(z-y)$.
Exemple 2 : Calcul avec des valeurs numériques
Calculons le déterminant de $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$.
C’est une matrice de Vandermonde avec $x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=-1$.
On applique la formule :
$\det(A) = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_2)(x_4-x_3)$.
$\det(A) = (2-1)(3-1)(-1-1)(3-2)(-1-2)(-1-3)$
$\det(A) = (1)(2)(-2)(1)(-3)(-4) = -4 \times 12 = -48$.
Exemple 3 : Condition d’inversibilité
Pour quelles valeurs de $a, b, c$ la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}$ est-elle inversible ?
Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Ici, $\det(M) = (b-a)(c-a)(c-b)$.
Pour que le déterminant soit non nul, il faut que tous les facteurs soient non nuls :
$b-a \neq 0 \implies b \neq a$.
$c-a \neq 0 \implies c \neq a$.
$c-b \neq 0 \implies c \neq b$.
Conclusion : La matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si les scalaires $(a,b,c)$ sont deux à deux distincts. Ce résultat se généralise à n’importe quelle taille $n$.
La propriété d’inversibilité des matrices de Vandermonde est fondamentale pour l’interpolation polynomiale.
Le problème « Trouver un polynôme $P$ de degré $n-1$ qui passe par $n$ points distincts $(x_i, y_i)$ » se ramène à résoudre un système linéaire dont la matrice est précisément la matrice de Vandermonde $V(x_1, \dots, x_n)$.
Comme les $x_i$ sont distincts, la matrice est inversible, ce qui garantit l’existence et l’unicité du polynôme interpolateur.