Un développement limité (DL) d’une fonction $f$ au voisinage de 0 à l’ordre $n$ est une approximation de $f(x)$ par un polynôme de degré au plus $n$. L’erreur commise dans cette approximation est contrôlée par le terme $o(x^n)$, qui représente une fonction négligeable devant $x^n$ quand $x \to 0$.
Si une fonction $f$ est $n$ fois dérivable en 0, elle admet un développement limité à l’ordre $n$ en 0 donné par : $$ f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f »(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) $$
En pratique, on utilise rarement cette formule directement. On s’appuie sur une liste de développements limités usuels et des règles opératoires.
| Fonction | Développement limité à l’ordre $n$ |
| $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$ |
| $\cos(x)$ | $1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \dots + (-1)^p \frac{x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p+1})$ |
| $\sin(x)$ | $x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \dots + (-1)^p \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!} + o(x^{2p+2})$ |
| $\ln(1+x)$ | $x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$ |
| $\frac{1}{1-x}$ | $1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + o(x^n)$ |
| $\frac{1}{1+x}$ | $1 – x + x^2 – x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n)$ |
| $(1+x)^\alpha$ | $1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$ |
Pour calculer le DL d’une fonction complexe, on la décompose en fonctions usuelles et on combine leurs DL.
- Somme : On additionne les parties polynomiales des DL.
- Produit : On multiplie les parties polynomiales et on ne conserve que les termes de degré inférieur ou égal à l’ordre $n$ du DL recherché.
- Quotient : Pour $\frac{f(x)}{g(x)}$, on fait une division suivant les puissances croissantes de la partie polynomiale de $f$ par celle de $g$.
- Composition : Pour calculer le DL de $g(f(x))$, il faut que $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$. On pose $u=f(x)$, on écrit le DL de $g(u)$ et on remplace $u$ par le DL de $f(x)$, puis on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à $n$.
C’est un produit : $f(x) = \cos(x) \times \frac{1}{1-x}$.
- DL des fonctions usuelles à l’ordre 2 :
- $\cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
- $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + o(x^2)$
- Multiplication des parties polynomiales :
$(1 – \frac{x^2}{2})(1 + x + x^2) = 1(1+x+x^2) – \frac{x^2}{2}(1+x+x^2)$
$= 1 + x + x^2 – \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{2} – \frac{x^4}{2}$ - Troncature à l’ordre 2 : On ne garde que les termes de degré $\le 2$.
$1 + x + x^2 – \frac{x^2}{2} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2$ - Conclusion : $$f(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$$