Comment calculer l’exponentielle d’une matrice

Comment calculer l’exponentielle d’une matrice ($e^A$)

Tout comme l’exponentielle d’un nombre est définie par sa série de Taylor, l’exponentielle d’une matrice carrée $A$ est définie par une série de matrices : $e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \dots$ Calculer cette somme infinie semble impossible, mais si la matrice est diagonalisable, le calcul devient simple.

Exemple 1 : Matrice 2×2

Reprenons la matrice $ A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $. Nous savons qu’elle se diagonalise avec : $ D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $, $ P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $ et $ P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $.

1. Calcul de $e^D$ : On applique l’exponentielle à chaque terme de la diagonale. $ e^D = \begin{pmatrix} e^2 & 0 \\ 0 & e^3 \end{pmatrix} $.

2. Assemblage final : On calcule $e^A = Pe^DP^{-1}$. $ e^A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^2 & 0 \\ 0 & e^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $
$ e^A = \begin{pmatrix} e^2 & 2e^3 \\ e^2 & e^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $
$ e^A = \begin{pmatrix} -e^2 + 2e^3 & 2e^2 – 2e^3 \\ -e^2 + e^3 & 2e^2 – e^3 \end{pmatrix} $.

Exemple 2 : Matrice 3×3 symétrique

Soit $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Nous savons qu’elle est diagonalisable avec : $ D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $ et $ P^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} $ et $ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} $.

1. Calcul de $e^D$ : $ e^D = \begin{pmatrix} e^2 & 0 & 0 \\ 0 & e^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-1} \end{pmatrix} $.

2. Assemblage final : Le calcul de $e^B = Pe^DP^{-1}$ est un peu long, mais direct.
$ e^B = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^2 & 0 & 0 \\ 0 & e^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} $
Le résultat final est : $ e^B = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} e^2+2e^{-1} & e^2-e^{-1} & e^2-e^{-1} \\ e^2-e^{-1} & e^2+2e^{-1} & e^2-e^{-1} \\ e^2-e^{-1} & e^2-e^{-1} & e^2+2e^{-1} \end{pmatrix} $.

Exemple 3 : Résolution d’un système différentiel

L’application la plus célèbre de l’exponentielle de matrice est la résolution des systèmes d’équations différentielles linéaires. Soit le système :
$x'(t) = 4x(t) – 2y(t)$
$y'(t) = x(t) + y(t)$

Avec $X(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, le système s’écrit $X'(t) = AX(t)$. La solution de cette équation est $X(t) = e^{tA}X(0)$, où $X(0)$ est le vecteur des conditions initiales.

Pour calculer $e^{tA}$, on utilise la même diagonalisation que pour $A$, mais la matrice diagonale devient $tD = \begin{pmatrix} 2t & 0 \\ 0 & 3t \end{pmatrix}$. Son exponentielle est $e^{tD} = \begin{pmatrix} e^{2t} & 0 \\ 0 & e^{3t} \end{pmatrix}$.

En refaisant le calcul de l’exemple 1 avec $e^{2t}$ et $e^{3t}$, on trouve : $e^{tA} = \begin{pmatrix} -e^{2t} + 2e^{3t} & 2e^{2t} – 2e^{3t} \\ -e^{2t} + e^{3t} & 2e^{2t} – e^{3t} \end{pmatrix}$.

Si les conditions initiales sont, par exemple, $x(0)=1$ et $y(0)=0$, la solution est : $ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = e^{tA} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -e^{2t} + 2e^{3t} \\ -e^{2t} + e^{3t} \end{pmatrix} $.