Comment calculer une intégrale généralisée convergente

Calculer une Intégrale Généralisée Convergente

Une intégrale généralisée (ou impropre) est une extension de l’intégrale définie aux cas où :

  • L’intervalle d’intégration est infini (ex: $[a, +\infty)$).
  • La fonction à intégrer n’est pas définie ou n’est pas bornée à l’une des bornes de l’intervalle.
Le calcul de sa valeur, si elle existe, passe systématiquement par l’utilisation de limites.

Définition par les Limites

Le principe est de remplacer la « borne problématique » par une variable, puis de calculer la limite lorsque cette variable tend vers la borne.

  • Cas d’une borne infinie : On calcule l’intégrale sur un intervalle fini $[a, t]$ puis on fait tendre $t$ vers l’infini. $$ \int_a^{+\infty} f(x) \,dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) \,dx $$
  • Cas d’une discontinuité en $b$ : On calcule l’intégrale sur $[a, t]$ où $t < b$, puis on fait tendre $t$ vers $b$. $$ \int_a^b f(x) \,dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) \,dx $$
Convergence vs. Divergence

Une fois la limite posée, deux cas se présentent :

  • Si la limite existe et est un nombre fini, on dit que l’intégrale est convergente. Sa valeur est cette limite.
  • Si la limite est infinie ($\pm\infty$) ou n’existe pas, on dit que l’intégrale est divergente. Elle n’a pas de valeur.

La Méthode en 3 Étapes

  1. Identifier le problème : Repérer si l’intégrale est généralisée à cause d’une borne infinie ou d’une discontinuité sur une borne.
  2. Poser la limite : Remplacer la borne problématique par une variable (par exemple, $t$) et écrire l’intégrale comme une limite.
  3. Calculer et conclure : Calculer d’abord la primitive et l’intégrale définie en fonction de $t$, puis évaluer la limite pour trouver la valeur finale ou conclure à la divergence.
Exemple 1 : Borne infinie

Calculer l’intégrale $I = \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \,dx$.

  1. Identification : L’intégrale est généralisée car la borne supérieure est $+\infty$.
  2. Pose de la limite :
    $I = \lim_{t \to +\infty} \int_1^t \frac{1}{x^2} \,dx$
  3. Calcul et conclusion :
    • On calcule d’abord l’intégrale définie :
      $\int_1^t x^{-2} \,dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^t = \left(-\frac{1}{t}\right) – \left(-\frac{1}{1}\right) = 1 – \frac{1}{t}$
    • On calcule ensuite la limite :
      $I = \lim_{t \to +\infty} \left(1 – \frac{1}{t}\right)$
    • Comme $\lim_{t \to +\infty} \frac{1}{t} = 0$, on obtient :
      $I = 1 – 0 = 1$

Conclusion : L’intégrale est convergente et sa valeur est 1.

Exemple 2 : Discontinuité

Calculer l’intégrale $J = \int_0^4 \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx$.

  1. Identification : La fonction $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ n’est pas définie en 0. L’intégrale est donc généralisée en sa borne inférieure.
  2. Pose de la limite :
    $J = \lim_{t \to 0^+} \int_t^4 \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx$
  3. Calcul et conclusion :
    • On calcule l’intégrale définie :
      $\int_t^4 x^{-1/2} \,dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_t^4 = 2\sqrt{4} – 2\sqrt{t} = 4 – 2\sqrt{t}$
    • On calcule la limite :
      $J = \lim_{t \to 0^+} (4 – 2\sqrt{t})$
    • Comme $\lim_{t \to 0^+} \sqrt{t} = 0$, on obtient :
      $J = 4 – 0 = 4$

Conclusion : L’intégrale est convergente et sa valeur est 4.