L’intégration par parties (IPP) est l’analogue de la dérivation d’un produit pour le calcul intégral. C’est la méthode de choix lorsque l’on doit intégrer un produit de fonctions, comme un polynôme multiplié par une exponentielle ou une fonction trigonométrique.
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. La formule est : $$ \int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) – \int u'(x)v(x) dx $$ Pour une intégrale définie sur un intervalle $[a, b]$, la formule devient : $$ \int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b u'(x)v(x) dx $$
La Stratégie : Bien Choisir ses Fonctions
Le succès d’une IPP repose entièrement sur le bon choix des fonctions $u$ et $v’$. Le but est de se ramener à une nouvelle intégrale, $\int u’v dx$, qui soit plus simple à calculer que l’intégrale de départ.
Pour choisir la fonction $u(x)$ (celle qu’on va dériver), on suit l’ordre de priorité suivant :
- A : Arc-tangente, Arc-sinus, …
- L : Logarithme
- P : Polynôme (ou puissance de $x$)
- E : Exponentielle
- S : Sinus, Cosinus (fonctions trigonométriques)
On choisit pour $u(x)$ la première fonction de la liste qui apparaît dans l’intégrale. Le reste de l’expression sera $v'(x)$.
La Méthode en 4 Étapes
- Choisir $u(x)$ et $v'(x)$ : On identifie les deux fonctions dans le produit et on utilise ALPES pour déterminer laquelle sera $u(x)$.
- Calculer $u'(x)$ et $v(x)$ : On dérive $u(x)$ pour obtenir $u'(x)$ et on intègre $v'(x)$ pour obtenir $v(x)$.
- Appliquer la formule : On remplace les quatre expressions ($u, v, u’, v’$) dans la formule de l’IPP.
- Calculer la nouvelle intégrale : On calcule l’intégrale restante, qui est normalement plus simple.
- Choix : On a un Polynôme ($x$) et une fonction Sinus/Cosinus ($\cos(x)$). Dans ALPES, P vient avant S.
On pose donc : $u(x) = x$ et $v'(x) = \cos(x)$. - Calculs :
- $u'(x) = 1$
- $v(x) = \int \cos(x) dx = \sin(x)$
- Application de la formule :
$\int x \cos(x) dx = u(x)v(x) – \int u'(x)v(x) dx$
$= x \sin(x) – \int 1 \cdot \sin(x) dx$ - Calcul final :
$= x \sin(x) – (-\cos(x)) + C$
$= x \sin(x) + \cos(x) + C$