En algèbre linéaire, l’une des questions les plus fondamentales est de savoir si un certain sous-ensemble d’un espace vectoriel en est un sous-espace vectoriel. Heureusement, il n’est pas nécessaire de vérifier tous les axiomes d’un espace vectoriel. Une méthode simple et directe en trois points suffit.
Soit $E$ un K-espace vectoriel et $F$ une partie de $E$ ($F \subseteq E$). Pour démontrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, il faut et il suffit de vérifier les trois conditions suivantes :
- Non-vide : $F$ n’est pas vide. La manière la plus simple de le prouver est de montrer que le vecteur nul de $E$, noté $0_E$, appartient à $F$.
- Stabilité par addition : Pour tous les vecteurs $u$ et $v$ qui sont dans $F$, leur somme $u+v$ doit aussi être dans $F$.
$\forall (u, v) \in F^2, \quad u + v \in F$. - Stabilité par multiplication par un scalaire : Pour tout vecteur $u$ dans $F$ et tout scalaire $\lambda$ dans $K$, le produit $\lambda \cdot u$ doit aussi être dans $F$.
$\forall u \in F, \forall \lambda \in K, \quad \lambda \cdot u \in F$.
Exemple Concret : Un plan dans $\mathbb{R}^3$
Montrons que l’ensemble $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x – 2y + z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
1. Vérification du vecteur nul :
Le vecteur nul de $\mathbb{R}^3$ est $0_{\mathbb{R}^3} = (0, 0, 0)$. Vérifions s’il appartient à $F$. On remplace $x, y, z$ par 0 dans l’équation :
$0 – 2(0) + 0 = 0$.
L’équation est vérifiée, donc $0_{\mathbb{R}^3} \in F$. La première condition est remplie.
2. Stabilité par addition :
Soient deux vecteurs $u = (x_1, y_1, z_1)$ et $v = (x_2, y_2, z_2)$ appartenant à $F$. Cela signifie qu’ils vérifient tous les deux l’équation de $F$ :
- $x_1 – 2y_1 + z_1 = 0$
- $x_2 – 2y_2 + z_2 = 0$
Nous devons montrer que leur somme $u+v = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ est aussi dans $F$. Pour cela, on teste ses composantes dans l’équation :
$(x_1+x_2) – 2(y_1+y_2) + (z_1+z_2)$
$= x_1 + x_2 – 2y_1 – 2y_2 + z_1 + z_2$
$= (x_1 – 2y_1 + z_1) + (x_2 – 2y_2 + z_2)$
$= 0 + 0 = 0$.
L’équation est vérifiée, donc $u+v \in F$. La deuxième condition est remplie.
3. Stabilité par multiplication par un scalaire :
Soit un vecteur $u = (x, y, z)$ dans $F$ et un scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$. On sait que $x – 2y + z = 0$. Nous devons montrer que $\lambda \cdot u = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ est dans $F$. On teste ses composantes :
$(\lambda x) – 2(\lambda y) + (\lambda z)$
$= \lambda(x – 2y + z)$
$= \lambda(0) = 0$.
L’équation est vérifiée, donc $\lambda \cdot u \in F$. La troisième condition est remplie.
Les trois conditions étant vérifiées, nous pouvons conclure que $F$ est bien un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. Géométriquement, $F$ représente un plan qui passe par l’origine.