Comment trouver les vecteurs propres d’une matrice
Après avoir calculé les valeurs propres $\lambda$ d’une matrice $A$, l’étape suivante consiste à trouver les vecteurs propres $v$ correspondants. Par définition, ce sont les vecteurs non nuls qui satisfont l’équation $Av = \lambda v$.
Pour chaque valeur propre $\lambda$ trouvée, on doit trouver les vecteurs $v$ associés. La méthode est la suivante :
- Réécrire l’équation $Av = \lambda v$ sous la forme $Av – \lambda v = 0$, ce qui équivaut à $Av – \lambda I v = 0$, où $I$ est la matrice identité.
- Factoriser par $v$ pour obtenir le système homogène : $(A – \lambda I)v = 0$.
- Résoudre ce système. Les solutions non nulles $v$ sont les vecteurs propres associés à la valeur propre $\lambda$.
L’ensemble des solutions de ce système (y compris le vecteur nul) forme un sous-espace vectoriel appelé le sous-espace propre associé à $\lambda$, noté $E_\lambda$.
Exemple 1 : Matrice 2×2
Reprenons la matrice $ A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $, dont les valeurs propres sont $\lambda_1 = 2$ et $\lambda_2 = 3$.
Pour $\lambda_1 = 2$ :
On résout $(A – 2I)v = 0$ : $ \begin{pmatrix} 4-2 & -2 \\ 1 & 1-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $
Le système est $2x – 2y = 0$, qui se simplifie en $x = y$. Les vecteurs propres sont de la forme $\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Le sous-espace propre $E_2$ est la droite vectorielle engendrée par le vecteur $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Pour $\lambda_2 = 3$ :
On résout $(A – 3I)v = 0$ : $ \begin{pmatrix} 4-3 & -2 \\ 1 & 1-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $
Le système est $x – 2y = 0$, soit $x = 2y$. Les vecteurs propres sont de la forme $\begin{pmatrix} 2y \\ y \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Le sous-espace propre $E_3$ est la droite vectorielle engendrée par le vecteur $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Exemple 2 : Matrice 3×3
Reprenons $ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} $, avec les valeurs propres $\lambda_1 = 4$ et $\lambda_2 = 1$.
Pour $\lambda_1 = 4$ :
On résout $(B – 4I)v = 0$ : $ \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $
En résolvant ce système (par exemple avec le pivot de Gauss), on trouve que $x=y=z$. Les vecteurs propres sont donc de la forme $x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Le sous-espace propre $E_4$ est engendré par $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Pour $\lambda_2 = 1$ (valeur propre de multiplicité 2) :
On résout $(B – 1I)v = 0$ : $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $
Toutes les lignes donnent la même équation : $x+y+z=0$. C’est l’équation d’un plan vectoriel. Le sous-espace propre $E_1$ est de dimension 2. On peut trouver une base de ce plan en choisissant deux vecteurs non colinéaires qui satisfont l’équation. Par exemple :
- Si $y=1, z=0$, alors $x=-1$. Premier vecteur : $v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
- Si $y=0, z=1$, alors $x=-1$. Deuxième vecteur : $v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.
$E_1$ est le plan vectoriel engendré par les vecteurs $v_1$ et $v_2$.
Exemple 3 : Matrice Triangulaire
Reprenons $ C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} $, avec les valeurs propres $\lambda_1 = 5$ et $\lambda_2 = -3$.
Pour $\lambda_1 = 5$ (multiplicité 2) :
On résout $(C – 5I)v = 0$ : $ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $
Ce système donne $2y=0 \implies y=0$ et $z=0$ (et $-8z=0$, qui est redondant). La variable $x$ est libre. Les vecteurs propres sont de la forme $x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Le sous-espace propre $E_5$ est donc la droite engendrée par $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
Dans cet exemple, la valeur propre $\lambda=5$ a une multiplicité algébrique de 2 (elle est deux fois racine du polynôme), mais son sous-espace propre est de dimension 1 (sa multiplicité géométrique). Une matrice est diagonalisable seulement si, pour chaque valeur propre, les deux multiplicités coïncident. Cette matrice $C$ n’est donc pas diagonalisable.