Comment Étudier la Convergence d’une Intégrale Généralisée

Une intégrale est dite généralisée (ou impropre) si au moins une de ses bornes est infinie, ou si la fonction à intégrer n’est pas définie (et tend vers l’infini) en une borne. On ne peut pas la calculer directement ; il faut d’abord prouver qu’elle converge, c’est-à-dire qu’elle a une valeur finie.

Types d’Intégrales Généralisées

Type 1 : Borne infinie. Par exemple : $\int_{a}^{+\infty} f(x) \,dx$.
Type 2 : Fonction non bornée. Par exemple, $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ où $f$ tend vers $\pm\infty$ en $a$ ou en $b$.

Méthode 1 : Critères de Comparaison (pour les fonctions positives)

C’est la méthode la plus utilisée. Elle ne s’applique qu’aux fonctions positives. L’idée est de comparer la fonction à une intégrale de référence dont on connaît la nature.

Intégrales de Référence : Intégrales de Riemann

En $+\infty$ : L’intégrale $\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} \,dx$ (avec $a>0$) converge si et seulement si $\alpha > 1$.
En $0^+$ : L’intégrale $\int_{0}^{b} \frac{1}{x^\alpha} \,dx$ (avec $b>0$) converge si et seulement si $\alpha < 1$.

Théorème : Comparaison par Équivalents

Soit $f$ une fonction positive. On cherche un équivalent simple de $f$ au point qui pose problème.

Si $f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} g(x)$, alors les intégrales $\int^{+\infty} f(x) \,dx$ et $\int^{+\infty} g(x) \,dx$ sont de même nature (toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes).

La même règle s’applique pour un équivalent en une borne finie (ex: $x \to a^+$).

Exemple : Étudier $\int_{1}^{+\infty} \frac{x^2+1}{x^4+x} \,dx$

Identifier le problème : La borne est $+\infty$. La fonction $f(x) = \frac{x^2+1}{x^4+x}$ est bien positive sur $[1, +\infty[$.
Trouver un équivalent simple en $+\infty$ :
Au numérateur, $x^2+1 \underset{+\infty}{\sim} x^2$.
Au dénominateur, $x^4+x \underset{+\infty}{\sim} x^4$.
Donc, $f(x) \underset{+\infty}{\sim} \frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{x^2}$.
Comparer à une intégrale de Riemann :
L’intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} \,dx$ est une intégrale de Riemann de référence avec $\alpha=2$.
Conclusion :
Puisque $\alpha=2 > 1$, l’intégrale de Riemann $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} \,dx$ converge.
Par le critère de comparaison par équivalents, notre intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{x^2+1}{x^4+x} \,dx$ converge également.

Méthode 2 : Convergence Absolue (pour les fonctions qui changent de signe)

Théorème de Convergence Absolue

On dit que l’intégrale $\int f(x) \,dx$ converge absolument si l’intégrale de sa valeur absolue, $\int |f(x)| \,dx$, converge.

Théorème fondamental : Si une intégrale converge absolument, alors elle converge. $$ \text{Convergence Absolue} \implies \text{Convergence} $$

La méthode consiste donc à étudier la convergence de $|f(x)|$ en utilisant les critères de comparaison pour les fonctions positives.

Exemple : Étudier $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x^2} \,dx$

Identifier le problème : La fonction $f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2}$ change de signe, on ne peut pas utiliser directement les équivalents. On étudie la convergence absolue.
Passer à la valeur absolue :
On étudie la nature de $\int_{1}^{+\infty} \left| \frac{\sin(x)}{x^2} \right| \,dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin(x)|}{x^2} \,dx$.
Majorer la fonction (positive) :
On sait que $0 \le |\sin(x)| \le 1$. Donc : $$ 0 \le \frac{|\sin(x)|}{x^2} \le \frac{1}{x^2} $$
Comparer à une intégrale de Riemann :
L’intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} \,dx$ converge (Riemann avec $\alpha=2 > 1$).
Conclusion :
Par comparaison, l’intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin(x)|}{x^2} \,dx$ converge.
L’intégrale initiale converge donc absolument, et par conséquent, elle converge.