L’un des théorèmes les plus importants de l’analyse réelle est le théorème de Bolzano-Weierstrass. Il nous assure que même si une suite bornée ne converge pas, elle n’erre pas au hasard : on peut toujours en « extraire » une sous-suite qui, elle, converge.
De toute suite réelle bornée, on peut extraire au moins une sous-suite convergente.
Cela signifie que l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite bornée n’est jamais vide. Mieux encore, la limite supérieure et la limite inférieure sont toujours des valeurs d’adhérence.
Méthode : Extraire une sous-suite qui converge vers $\limsup$
La limite supérieure $L = \limsup u_n$ est la plus grande valeur d’adhérence. On peut construire une sous-suite $(u_{\phi(n)})$ qui converge vers $L$ par un procédé de construction par récurrence.
Soit $L = \limsup u_n$. L’idée est de « chasser » cette valeur $L$ en trouvant des termes de la suite qui s’en approchent de plus en plus.
- Initialisation : On cherche un premier indice $\phi(0)$. On sait que $L$ est une valeur d’adhérence. Donc pour $\varepsilon = 1$, il existe une infinité de termes dans l’intervalle $]L-1, L+1[$. On choisit $\phi(0)$ comme étant le premier d’entre eux.
- Récurrence : Supposons qu’on a construit les $n$ premiers indices $\phi(0) < \phi(1) < \dots < \phi(n-1)$. On veut trouver l'indice suivant, $\phi(n) > \phi(n-1)$. Pour $\varepsilon = 1/n$, on sait qu’il existe une infinité de termes $u_k$ dans l’intervalle $]L – 1/n, L + 1/n[$. On peut donc en choisir un dont l’indice $k$ est strictement supérieur à $\phi(n-1)$. On pose $\phi(n) = k$.
Par construction, la suite d’indices $(\phi(n))$ est strictement croissante et pour tout $n$, on a $|u_{\phi(n)} – L| < 1/n$. Par le théorème des gendarmes, on conclut que $\lim_{n \to \infty} u_{\phi(n)} = L$.
Application Pratique : Identifier les sous-suites évidentes
En pratique, on construit rarement la sous-suite avec l’algorithme formel. Le plus souvent, on identifie des « comportements » différents au sein de la suite, typiquement en séparant les indices pairs et impairs, ou selon le reste de la division de $n$ par 3, 4, etc.
Exemple : Soit la suite $u_n = \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$.
Calculons les premiers termes :
- $u_0 = \cos(0) = 1$
- $u_1 = \cos(\pi/2) = 0$
- $u_2 = \cos(\pi) = -1$
- $u_3 = \cos(3\pi/2) = 0$
- $u_4 = \cos(2\pi) = 1$
On peut extraire plusieurs sous-suites convergentes :
- Sous-suite des termes de rang $n=4k$ :
$u_{4k} = \cos(4k\pi/2) = \cos(2k\pi) = 1$. Cette sous-suite est constante et converge vers 1. (C’est la $\limsup$). - Sous-suite des termes de rang $n=4k+2$ :
$u_{4k+2} = \cos((4k+2)\pi/2) = \cos(2k\pi + \pi) = -1$. Cette sous-suite est constante et converge vers -1. (C’est la $\liminf$). - Sous-suite des termes de rang impair $n=2k+1$ :
$u_{2k+1} = \cos((2k+1)\pi/2) = 0$. Cette sous-suite est constante et converge vers 0.