La notion de famille libre (ou indépendance linéaire) est centrale en algèbre. Elle signifie qu’aucun vecteur d’une famille ne peut s’écrire comme une combinaison linéaire des autres. En d’autres termes, chaque vecteur apporte une « direction » unique. La méthode pour le prouver est systématique et repose sur la résolution d’un système d’équations.
Soit $E$ un K-espace vectoriel et $\mathcal{F} = (u_1, u_2, \dots, u_p)$ une famille de vecteurs de $E$. Pour démontrer que la famille $\mathcal{F}$ est libre, la méthode consiste à :
- Écrire une combinaison linéaire de ces vecteurs égale au vecteur nul :
$\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \dots + \lambda_p u_p = 0_E$, où les $\lambda_i$ sont des scalaires de $K$. - Résoudre l’équation (qui se traduit souvent par un système linéaire) pour trouver les valeurs des scalaires $\lambda_i$.
- Conclure : Si la seule et unique solution est que tous les scalaires sont nuls ($\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_p = 0$), alors la famille est libre. Sinon, elle est liée.
Exemple : Une famille de 3 vecteurs dans $\mathbb{R}^3$
Montrons que la famille $\mathcal{F} = (u, v, w)$ est une famille libre de $\mathbb{R}^3$, avec $u = (1, 1, 0)$, $v = (1, 0, 1)$ et $w = (0, 1, 1)$.
1. Poser l’équation :
On cherche les scalaires $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ tels que $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0_{\mathbb{R}^3}$.
$\alpha(1, 1, 0) + \beta(1, 0, 1) + \gamma(0, 1, 1) = (0, 0, 0)$
2. Traduire en système linéaire :
En additionnant les vecteurs composante par composante, on obtient :
$(\alpha + \beta, \alpha + \gamma, \beta + \gamma) = (0, 0, 0)$
Ce qui nous donne le système de trois équations à trois inconnues :
- (1) : $\alpha + \beta = 0$
- (2) : $\alpha + \gamma = 0$
- (3) : $\beta + \gamma = 0$
3. Résoudre le système :
De l’équation (1), on tire $\beta = -\alpha$.
De l’équation (2), on tire $\gamma = -\alpha$.
On remplace $\beta$ et $\gamma$ dans l’équation (3) :
$(-\alpha) + (-\alpha) = 0 \implies -2\alpha = 0 \implies \alpha = 0$.
Puisque $\alpha = 0$, on en déduit immédiatement que $\beta = -0 = 0$ et $\gamma = -0 = 0$.
4. Conclure :
La seule solution du système est $\alpha = 0, \beta = 0, \gamma = 0$.
Puisque l’unique combinaison linéaire de $u, v, w$ qui donne le vecteur nul est la combinaison triviale, nous pouvons conclure que la famille $\mathcal{F}$ est libre.
- Présence du vecteur nul : Toute famille contenant le vecteur nul est automatiquement liée.
- Nombre de vecteurs : Dans un espace de dimension $n$ (par exemple $\mathbb{R}^n$), toute famille contenant plus de $n$ vecteurs est automatiquement liée.
- Vecteurs colinéaires : Une famille de deux vecteurs non nuls est liée si et seulement s’ils sont colinéaires (l’un est un multiple de l’autre).