Intuitivement, une fonction est continue en un point si sa courbe ne présente ni « trou », ni « saut » en ce point. Mathématiquement, la continuité formalise cette idée en comparant la valeur de la fonction à sa limite.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un point de $I$.
On dit que $f$ est continue en $a$ si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est égale à $f(a)$.
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
La définition $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ impose trois conditions qui doivent être remplies simultanément :
- $f(a)$ doit exister : Le point $a$ doit appartenir au domaine de définition de $f$.
- $\lim_{x \to a} f(x)$ doit exister et être finie : La fonction doit admettre une limite réelle en $a$. Cela signifie notamment que la limite à gauche et la limite à droite doivent exister et être égales.
- La limite doit être égale à $f(a)$ : La valeur de la limite doit coïncider avec la valeur de la fonction au point $a$.
Exemple 1 : Fonction polynomiale
Montrer que la fonction $f(x) = 2x^2 – 3x + 1$ est continue en $a=5$.
- Vérifier que $f(5)$ existe : $f$ est un polynôme, donc $D_f = \mathbb{R}$. Le point $a=5$ est bien dans le domaine. $f(5) = 2(5^2) – 3(5) + 1 = 50 – 15 + 1 = 36$.
- Calculer la limite : Pour une fonction polynomiale, la limite en un point est simplement la valeur de la fonction en ce point. $\lim_{x \to 5} (2x^2 – 3x + 1) = 2(5^2) – 3(5) + 1 = 36$.
- Comparer : On constate que $\lim_{x \to 5} f(x) = 36$ et $f(5) = 36$.
Puisque $\lim_{x \to 5} f(x) = f(5)$, la fonction $f$ est bien continue en 5.
Exemple 2 : Fonction définie par morceaux
Soit la fonction $g$ définie par :
$ g(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 5 - x^2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases} $
La fonction $g$ est-elle continue en $a=1$ ?
- Vérifier que $g(1)$ existe : Pour $x=1$, on utilise la deuxième expression. $g(1) = 5 – 1^2 = 4$.
- Calculer la limite : Comme la définition de la fonction change en 1, il faut calculer les limites à gauche et à droite.
- Limite à gauche : $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+3) = 1+3 = 4$.
- Limite à droite : $\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (5-x^2) = 5-1^2 = 4$.
- Comparer : On a $\lim_{x \to 1} g(x) = 4$ et $g(1) = 4$.
La condition est vérifiée, donc la fonction $g$ est continue en 1.
Cas Particulier : Le Prolongement par Continuité
Parfois, une fonction n’est pas définie en un point $a$, mais admet une limite finie $L$ en ce point. C’est le cas par exemple de $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ en $a=0$.
On peut alors « réparer » la fonction en créant une nouvelle fonction $\tilde{f}$, appelée prolongement par continuité de $f$ en $a$, définie comme suit :
$ \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a \\ L & \text{si } x = a \end{cases} $
Cette nouvelle fonction $\tilde{f}$ est, par construction, continue en $a$.