Comment montrer qu’une fonction est dérivable sur un intervalle

Comment Montrer qu’une Fonction est Dérivable sur un Intervalle

Une fonction est dite dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle. En pratique, on ne revient que très rarement à la définition du taux d’accroissement pour chaque point. On utilise plutôt des théorèmes généraux sur les opérations de fonctions dérivables.

Théorèmes Généraux

Le principe de base est que la dérivabilité est stable par les opérations usuelles :

  • Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, trigonométriques, racine carrée, exponentielle, logarithme) sont dérivables sur leur domaine de définition.
  • Si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, alors les fonctions suivantes le sont aussi :
    • La somme : $f+g$
    • Le produit : $f \times g$
    • Le quotient : $\frac{f}{g}$ (si $g(x) \neq 0$ sur $I$)
  • Composition : Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ est dérivable sur un intervalle $J$ contenant $f(I)$, alors la fonction composée $g \circ f$ est dérivable sur $I$.

Méthode Générale

Pour la plupart des fonctions définies par une seule formule, il suffit d’utiliser les théorèmes généraux.

Exemple : $f(x) = \sqrt{x^2+1}$

Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

La fonction $f$ est la composée de deux fonctions :

  • $u(x) = x^2+1$, qui est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$.
  • $v(t) = \sqrt{t}$, qui est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $x^2 \ge 0$, donc $u(x) = x^2+1 \ge 1$. L’image de $\mathbb{R}$ par $u$ est l’intervalle $[1, +\infty[$.
Comme $[1, +\infty[$ est inclus dans le domaine de dérivabilité de $v$ ($\mathbb{R}_+^*$), la fonction composée $f = v \circ u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Cas Particulier : Fonctions définies par morceaux

Pour une fonction définie par morceaux, la dérivabilité est évidente sur les intervalles ouverts, mais doit être étudiée spécifiquement aux points de jonction.

Exemple : $g(x) = \begin{cases} x^2+1 & \text{si } x < 1 \\ 2x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Étudier la dérivabilité de $g$ sur $\mathbb{R}$.

  1. Sur les intervalles ouverts :
    • Sur $]-\infty, 1[$, $g(x)=x^2+1$ est une fonction polynôme, donc elle est dérivable.
    • Sur $]1, +\infty[$, $g(x)=2x$ est une fonction polynôme, donc elle est dérivable.
  2. Étude au point de jonction $a=1$ : On doit vérifier deux choses. D’abord, la continuité.
    $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2+1) = 2$.
    $\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x) = 2$.
    $g(1) = 2(1) = 2$.
    La fonction est bien continue en 1. On peut donc étudier la dérivabilité. On compare les dérivées à gauche et à droite.
    • À gauche : Pour $x<1$, $g'(x) = 2x$. Donc le nombre dérivé à gauche est $\lim_{x \to 1^-} g'(x) = 2(1) = 2$.
    • À droite : Pour $x>1$, $g'(x) = 2$. Donc le nombre dérivé à droite est $\lim_{x \to 1^+} g'(x) = 2$.

Conclusion : Le nombre dérivé à gauche est égal au nombre dérivé à droite (2 = 2). La fonction est donc dérivable en 1 et $g'(1)=2$.
Finalement, $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Note : si les deux nombres dérivés avaient été différents, la fonction n’aurait pas été dérivable en 1. La courbe aurait présenté un « point anguleux ».