Une fonction lipschitzienne est une fonction dont le taux d’accroissement est borné sur son domaine. Intuitivement, cela signifie que la pente des cordes reliant deux points quelconques de la courbe ne peut pas dépasser une certaine valeur. C’est une condition de régularité plus forte que la continuité uniforme.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
$f$ est dite k-lipschitzienne (ou simplement lipschitzienne) sur $I$ s’il existe une constante réelle $k \ge 0$ (appelée constante de Lipschitz) telle que pour tous $x, y$ dans $I$ :
$$ |f(x) – f(y)| \le k |x – y| $$
Si $x \neq y$, on peut réécrire cette inégalité comme : $\frac{|f(x) – f(y)|}{|x – y|} \le k$.
Important : Une fonction lipschitzienne est toujours uniformément continue (et donc continue).
Méthode 1 : Utiliser le Théorème des Accroissements Finis (la plus efficace)
C’est la méthode à utiliser en priorité pour les fonctions dérivables.
Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et si sa dérivée $f’$ est bornée sur $I$ (c’est-à-dire qu’il existe un réel $M$ tel que $|f'(x)| \le M$ pour tout $x \in I$), alors $f$ est M-lipschitzienne sur $I$.
Exemple : Montrer que $f(x)=\cos(x)$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.
- La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
- On calcule sa dérivée : $f'(x) = -\sin(x)$.
- On majore la valeur absolue de la dérivée : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|f'(x)| = |-\sin(x)| \le 1$.
- La dérivée est bornée par $M=1$. D’après l’inégalité des accroissements finis, la fonction cosinus est donc 1-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.
Méthode 2 : Revenir à la définition
Cette méthode est nécessaire lorsque la fonction n’est pas dérivable partout ou lorsque sa dérivée n’est pas bornée.
On utilise l’inégalité triangulaire inverse : pour tous réels $x, y$, on a $||x| – |y|| \le |x – y|$.
Ceci s’écrit aussi $|f(x) – f(y)| \le 1 \cdot |x – y|$.
On reconnaît la définition d’une fonction 1-lipschitzienne.
Comment montrer qu’une fonction N’EST PAS lipschitzienne
Pour montrer qu’une fonction n’est pas lipschitzienne, on doit montrer que le rapport $\frac{|f(x) – f(y)|}{|x – y|}$ n’est pas borné.
La dérivée est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Lorsque $x \to 0^+$, on a $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty$.
La dérivée n’est pas bornée au voisinage de 0, donc la fonction n’est pas lipschitzienne sur $[0, 1]$. (Elle est cependant uniformément continue car continue sur un segment).
La dérivée est $g'(x) = 2x$. Lorsque $x \to \infty$, $g'(x) \to \infty$.
La dérivée n’est pas bornée sur $\mathbb{R}$, donc la fonction n’est pas lipschitzienne sur $\mathbb{R}$. (Elle est cependant lipschitzienne sur tout segment borné $[-A, A]$).