Comment passer des coordonnées d’une base à une autre

Comment Passer des Coordonnées d’une Base à une Autre

Un même vecteur peut être décrit par des coordonnées différentes selon la base dans laquelle on se place. Le passage d’un système de coordonnées à un autre est une opération standard en algèbre linéaire, entièrement gérée par une matrice de passage.

Exemple 1 : De la base canonique à une autre base dans $\mathbb{R}^2$

Soit l’ancienne base $\mathcal{B}=((1,0), (0,1))$ (la base canonique) et la nouvelle base $\mathcal{C}=((1,1), (-1,1))$.
Soit le vecteur $u=(3,5)$. Ses coordonnées dans $\mathcal{B}$ sont $X=\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$. Cherchons ses coordonnées $Y$ dans $\mathcal{C}$.

1. Construire la matrice de passage $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{C}}$ :
Les colonnes sont les vecteurs de $\mathcal{C}$ exprimés dans $\mathcal{B}$. C’est direct :
$P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

2. Calculer l’inverse $P^{-1}$ :
$P^{-1} = \frac{1}{1(1)-(-1)(1)} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.

3. Appliquer la formule $Y = P^{-1}X$ :
$Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3+5 \\ -3+5 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Conclusion : Les coordonnées de $u$ dans la base $\mathcal{C}$ sont $(4,1)$.
Vérification : $4(1,1) + 1(-1,1) = (4-1, 4+1) = (3,5)$, c’est correct.

Exemple 2 : Entre deux bases non canoniques de $\mathbb{R}^2$

Ancienne base $\mathcal{B}=((1,1), (-1,1))$, nouvelle base $\mathcal{C}=((1,0), (0,1))$.
Soit un vecteur $u$ de coordonnées $X=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ dans $\mathcal{B}$. Cherchons ses coordonnées $Y$ dans $\mathcal{C}$.

1. Matrice de passage $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{C}}$ :
On exprime les vecteurs de $\mathcal{C}$ dans $\mathcal{B}$.
$(1,0) = a(1,1)+b(-1,1) \implies a=1/2, b=-1/2$.
$(0,1) = c(1,1)+d(-1,1) \implies c=1/2, d=1/2$.
$P = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.

2. Appliquer la formule $Y = P^{-1}X$ :
Wait, the goal is to find coordinates in $\mathcal{C}$. We have coordinates in $\mathcal{B}$. We need to apply $X = PY$. Sorry, the other way around. $Y=P^{-1}X$.
We are looking for $Y$ (coords in $\mathcal{C}$) from $X$ (coords in $\mathcal{B}$). So we need $Y=P_{\mathcal{C} \to \mathcal{B}} X$. No, that’s wrong.
Let’s restate. $u = 4(1,1)+1(-1,1) = (3,5)$. We want its coordinates in the canonical basis $\mathcal{C}$. The answer is obviously $(3,5)$. How do we get this with the formula?
The formula is $X_{\text{old}} = P_{\text{old} \to \text{new}} X_{\text{new}}$.
Here, $X_{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{C}} X_{\mathcal{C}}$.
We have $X_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ and we want $X_{\mathcal{C}}$.
We need to apply $X_{\mathcal{C}} = (P_{\mathcal{B} \to \mathcal{C}})^{-1} X_{\mathcal{B}}$.
$P^{-1} = (\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix})^{-1} = 2 \frac{1}{1/2} \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
$X_{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$. This is correct.

Astuce : Le plus simple est de passer par la base canonique $\mathcal{E}$.
$P_{\mathcal{B} \to \mathcal{C}} = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{E}} \cdot P_{\mathcal{E} \to \mathcal{C}}$.

Exemple 3 : En dimension 3

Soit $\mathcal{B}$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et $\mathcal{C}=(e_1, e_2, e_3)$ avec $e_1=(1,0,1), e_2=(1,1,0), e_3=(0,1,1)$.
Soit $u$ de coordonnées $Y=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ dans $\mathcal{C}$. Quelles sont ses coordonnées $X$ dans $\mathcal{B}$?

On applique la formule directe $X = PY$.
La matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{C}$ est $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1+0 \\ 0-1+3 \\ 2+0+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$.

Conclusion : Les coordonnées de $u$ dans la base canonique sont $(1,2,5)$.