Comment Prouver qu’une Application n’est PAS Linéaire
Une application est linéaire si elle respecte deux conditions très strictes : l’additivité et l’homogénéité. Pour prouver qu’une application n’est pas linéaire, il suffit de montrer qu’elle viole au moins une de ces règles pour au moins un exemple. Trouver un seul contre-exemple suffit.
Pour qu’une application $f: E \to F$ soit linéaire, elle doit vérifier pour tous vecteurs $u, v \in E$ et tout scalaire $\lambda$ :
- Additivité : $f(u+v) = f(u) + f(v)$
- Homogénéité : $f(\lambda u) = \lambda f(u)$
Une conséquence directe de l’homogénéité (en prenant $\lambda=0$) est que toute application linéaire doit envoyer le vecteur nul sur le vecteur nul : $f(0_E) = 0_F$.
Pour montrer que $f$ n’est pas linéaire, suivez cette checklist dans l’ordre (du plus simple au plus complexe) :
- Test du Vecteur Nul : Calculez $f(0)$. Si $f(0) \neq 0$, l’application n’est pas linéaire. C’est le test le plus rapide.
- Test de l’Homogénéité : Choisissez un vecteur simple $u$ et un scalaire simple $\lambda$ (comme 2 ou -1). Calculez $f(\lambda u)$ et $\lambda f(u)$. S’ils sont différents, l’application n’est pas linéaire.
- Test de l’Additivité : Choisissez deux vecteurs simples $u$ et $v$. Calculez $f(u+v)$ et $f(u)+f(v)$. S’ils sont différents, l’application n’est pas linéaire.
Exemple 1 : Le test du vecteur nul suffit
Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+1, y)$.
On teste la première condition de la checklist.
Calculons $f(0,0)$:
$f(0,0) = (0+1, 0) = (1,0)$.
Comme $f(0,0) \neq (0,0)$, la condition $f(0_E)=0_F$ n’est pas respectée.
Conclusion : $f$ n’est pas une application linéaire.
Exemple 2 : Le test de l’homogénéité échoue
Soit $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $g(x,y) = (x^2, y)$.
1. Test du vecteur nul : $g(0,0) = (0^2, 0) = (0,0)$. Ce test ne conclut rien. On passe à l’étape suivante.
2. Test de l’homogénéité :
Choisissons un vecteur simple, $u=(1,1)$, et un scalaire simple, $\lambda=2$.
– D’une part, $g(\lambda u) = g(2 \cdot (1,1)) = g(2,2) = (2^2, 2) = (4,2)$.
– D’autre part, $\lambda g(u) = 2 \cdot g(1,1) = 2 \cdot (1^2, 1) = 2 \cdot (1,1) = (2,2)$.
On a $g(\lambda u) \neq \lambda g(u)$. La condition d’homogénéité est violée.
Conclusion : $g$ n’est pas une application linéaire.
Exemple 3 : Le test de l’additivité échoue
Soit $h: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $h(x,y) = xy$.
1. Test du vecteur nul : $h(0,0)=0 \cdot 0 = 0$. Ne conclut pas.
2. Test de l’homogénéité : $h(\lambda(x,y))=h(\lambda x, \lambda y) = (\lambda x)(\lambda y)=\lambda^2 xy$. Et $\lambda h(x,y) = \lambda xy$. Sauf cas particulier, c’est différent. Non linéaire.
Mais testons l’additivité pour l’exemple.
3. Test de l’additivité :
Choisissons deux vecteurs simples, $u=(1,0)$ et $v=(0,1)$.
– D’une part, $h(u+v) = h(1,1) = 1 \cdot 1 = 1$.
– D’autre part, $h(u)+h(v) = h(1,0) + h(0,1) = (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) = 0 + 0 = 0$.
On a $h(u+v) \neq h(u)+h(v)$. La condition d’additivité est violée.
Conclusion : $h$ n’est pas une application linéaire.