Partie 1 : Reconnaître une Matrice Hermitienne
Une matrice hermitienne est la généralisation aux nombres complexes de la matrice symétrique réelle. Elle joue un rôle central en mécanique quantique et dans l’étude des endomorphismes autoadjoints.
La matrice adjointe de $A$, notée $A^*$, est la transposée du conjugué de $A$ (ou le conjugué de la transposée, l’ordre n’importe pas) : $A^* = \overline{A^T}$.
Une matrice $A$ est hermitienne si et seulement si elle est égale à sa propre adjointe :
$A = A^*$
Cela implique deux choses : les éléments sur la diagonale doivent être réels, et l’élément $a_{ji}$ doit être le conjugué de $a_{ij}$.
Exemples de Matrices Hermitiennes
Exemple 1 : Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1-i \\ 1+i & -3 \end{pmatrix}$.
$A^T = \begin{pmatrix} 2 & 1+i \\ 1-i & -3 \end{pmatrix}$.
$A^* = \overline{A^T} = \begin{pmatrix} 2 & 1-i \\ 1+i & -3 \end{pmatrix} = A$. La matrice est hermitienne.
Exemple 2 : Soit $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -i \\ 0 & 5 & 2+i \\ i & 2-i & 0 \end{pmatrix}$.
La diagonale est réelle. $b_{31}=i = \overline{b_{13}}$, $b_{32}=2-i=\overline{b_{23}}$. La matrice est hermitienne.
Exemple 3 (contre-exemple) : Soit $C = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. La diagonale contient un nombre non réel, donc $C$ ne peut pas être hermitienne.
Partie 2 : Reconnaître une Matrice Unitaire
Une matrice unitaire est la généralisation aux nombres complexes de la matrice orthogonale. Elle représente une isométrie dans un espace hermitien (une transformation qui conserve la norme hermitienne).
Une matrice carrée $U$ est unitaire si et seulement si son inverse est égale à sa matrice adjointe :
$U^* U = I$
De manière équivalente, une matrice est unitaire si et seulement si ses vecteurs colonnes (ou ses vecteurs lignes) forment une base orthonormale pour le produit scalaire hermitien usuel.
Exemples de Matrices Unitaires
Exemple 1 : Soit $U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}$.
$U^* = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{pmatrix}$.
$U^*U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1-i^2 & i-i \\ -i+i & -i^2+1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = I$.
La matrice est unitaire.
Exemple 2 : Soit $V = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$.
Les colonnes sont $(i,0)$ et $(0, e^{i\theta})$. Elles sont clairement orthogonales.
Norme de la 1ère colonne : $\sqrt{|i|^2 + |0|^2} = \sqrt{1}=1$.
Norme de la 2ème colonne : $\sqrt{|0|^2 + |e^{i\theta}|^2} = \sqrt{1}=1$.
Les colonnes forment une base orthonormale. La matrice est unitaire.
Exemple 3 (contre-exemple) : Soit $W = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
$W^*W = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & -i^2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 2 \end{pmatrix} \neq I$.
La matrice n’est pas unitaire.
- Matrice hermitienne : Ses valeurs propres sont toujours réelles. Elle est toujours diagonalisable dans une base orthonormale.
- Matrice unitaire : Ses valeurs propres sont des nombres complexes de module 1. Son déterminant a aussi un module égal à 1. Elle est toujours diagonalisable dans une base orthonormale.