Une base d’un espace vectoriel est en quelque sorte son « squelette ». C’est une famille de vecteurs qui permet de construire tous les autres vecteurs de l’espace, et ce, de manière unique. Pour prouver qu’une famille est une base, il faut vérifier ces deux propriétés fondamentales.
Soit $E$ un K-espace vectoriel et $\mathcal{B} = (u_1, u_2, \dots, u_n)$ une famille de vecteurs de $E$. Pour démontrer que la famille $\mathcal{B}$ est une base de $E$, il faut prouver qu’elle est à la fois :
- Génératrice : Tout vecteur de $E$ peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal{B}$. Autrement dit, le sous-espace engendré par $\mathcal{B}$ est $E$ tout entier ($Vect(\mathcal{B}) = E$).
- Libre : La seule combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal{B}$ qui donne le vecteur nul est celle où tous les scalaires sont nuls. (Voir la fiche méthode sur les familles libres).
Dans la pratique, on utilise très souvent un théorème puissant qui simplifie la vérification.
Si vous travaillez dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$ (par exemple $\mathbb{R}^n$ qui est de dimension $n$), et que votre famille $\mathcal{F}$ contient exactement $n$ vecteurs, alors les trois propositions suivantes sont équivalentes :
- (i) $\mathcal{F}$ est une base de $E$.
- (ii) $\mathcal{F}$ est libre.
- (iii) $\mathcal{F}$ est génératrice de $E$.
En clair : Si vous avez le bon nombre de vecteurs, il vous suffit de prouver une seule des deux propriétés (libre ou génératrice) pour prouver que c’est une base ! Comme il est souvent plus simple de prouver qu’une famille est libre, c’est la méthode la plus courante.
Exemple : Une famille de 3 vecteurs dans $\mathbb{R}^3$
Reprenons la famille $\mathcal{F} = (u, v, w)$ de l’article précédent, avec $u = (1, 1, 0)$, $v = (1, 0, 1)$ et $w = (0, 1, 1)$. Montrons que c’est une base de $\mathbb{R}^3$.
Analyse de la situation :
- L’espace est $\mathbb{R}^3$, qui est de dimension 3.
- La famille $\mathcal{F}$ contient 3 vecteurs.
Nous sommes exactement dans le cas du théorème de la dimension ! Puisque nous avons le bon nombre de vecteurs (3 vecteurs dans un espace de dimension 3), il nous suffit de prouver que la famille est libre.
Vérification de la liberté :
Dans la fiche méthode précédente, nous avons montré que l’équation $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0_{\mathbb{R}^3}$ n’admet que la solution $\alpha = \beta = \gamma = 0$.
La famille $\mathcal{F}$ est donc libre.
Conclusion :
Puisque $\mathcal{F}$ est une famille libre de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3, on peut directement conclure que $\mathcal{F}$ est une base de $\mathbb{R}^3$.