La dimension d’un espace vectoriel est l’une de ses caractéristiques les plus importantes. Intuitivement, elle représente le nombre de « degrés de liberté » ou de directions indépendantes nécessaires pour décrire n’importe quel vecteur de cet espace. La méthode pour la trouver est directe : elle repose entièrement sur la notion de base.
Par définition, la dimension d’un espace vectoriel $E$, notée $\dim(E)$, est le nombre de vecteurs dans n’importe quelle base de $E$.
La méthode pour trouver la dimension de $E$ se résume donc à ces deux étapes :
- Trouver une base de $E$ : Il faut déterminer une famille de vecteurs qui soit à la fois libre et génératrice de $E$. (Voir les fiches méthodes correspondantes).
- Compter les vecteurs : Le nombre de vecteurs que vous avez trouvés dans cette base est la dimension de $E$.
Il est important de noter que même si un espace vectoriel peut avoir une infinité de bases différentes, elles auront toutes le même nombre de vecteurs.
Exemple : Dimension d’un sous-espace de $\mathbb{R}^4$
Trouvons la dimension du sous-espace vectoriel $F$ de $\mathbb{R}^4$ défini par :
$F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y – z = 0 \text{ et } y + z – t = 0\}$.
1. Exprimer les vecteurs de F :
Le but est d’exprimer un vecteur de $F$ en fonction d’un minimum de variables indépendantes. On résout le système :
- De la 2ème équation, on tire $t = y + z$.
- De la 1ère équation, on tire $x = z – y$.
Les variables $y$ et $z$ peuvent être choisies librement (ce sont nos « degrés de liberté »). Un vecteur $u = (x, y, z, t)$ de $F$ s’écrit donc :
$u = (z – y, y, z, y + z)$
2. Extraire une famille génératrice :
On sépare les termes en $y$ et les termes en $z$ pour faire apparaître une combinaison linéaire :
$u = (-y, y, 0, y) + (z, 0, z, z)$
$u = y \cdot (-1, 1, 0, 1) + z \cdot (1, 0, 1, 1)$
Cela montre que tout vecteur de $F$ est une combinaison linéaire des deux vecteurs $v_1 = (-1, 1, 0, 1)$ et $v_2 = (1, 0, 1, 1)$. La famille $\mathcal{B} = (v_1, v_2)$ est donc une famille génératrice de $F$.
3. Vérifier que la famille est libre :
Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\alpha v_1 + \beta v_2 = 0_{\mathbb{R}^4}$.
$\alpha(-1, 1, 0, 1) + \beta(1, 0, 1, 1) = (0, 0, 0, 0)$
$(-\alpha + \beta, \alpha, \beta, \alpha + \beta) = (0, 0, 0, 0)$
La deuxième composante nous donne $\alpha = 0$. La troisième nous donne $\beta = 0$. La seule solution est $\alpha = \beta = 0$. La famille $\mathcal{B}$ est donc libre.
Puisque la famille $\mathcal{B} = (v_1, v_2)$ est à la fois libre et génératrice de $F$, c’est une base de $F$.
Cette base contient 2 vecteurs.
On conclut donc que $\dim(F) = 2$.