Déterminer la limite d’une suite définie par une somme, $u_n = \sum_{k=…}^{…} f(n, k)$, est un exercice classique qui demande de l’observation. Il n’y a pas de méthode unique, mais plusieurs grandes stratégies se dégagent en fonction de la forme de la somme.
Méthode 1 : Reconnaître une somme usuelle
La première chose à faire est de vérifier si la somme ne peut pas être calculée explicitement à l’aide des formules de sommes usuelles.
- Somme des $n$ premiers entiers : $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
- Somme des $n$ premiers carrés : $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
- Somme d’une suite géométrique : $\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (pour $q \neq 1$)
Une fois la somme calculée, on obtient une expression explicite de $u_n$ dont on peut trouver la limite par les techniques habituelles (termes de plus haut degré pour les fractions rationnelles, etc.).
Méthode 2 : Le Théorème d’Encadrement (des Gendarmes)
C’est la méthode la plus fréquente lorsque la somme ne se simplifie pas. L’objectif est de borner la suite $(u_n)$ par deux autres suites qui convergent vers la même limite.
- Encadrer le terme général : Pour l’indice $k$ variant dans l’intervalle de la somme, on cherche à encadrer le terme $f(n, k)$ de la somme par deux expressions plus simples.
- Sommer l’inégalité : On somme membre à membre l’inégalité obtenue sur toutes les valeurs de $k$.
- Calculer les limites des « gendarmes » : On calcule la limite des deux suites (gauche et droite) qui encadrent maintenant $(u_n)$.
- Conclure : Si les deux limites sont égales, le théorème des gendarmes permet de conclure.
Exemple : Soit $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k}$.
Pour $k \in [1, n]$, on a : $n^2+1 \le n^2+k \le n^2+n$.
En passant à l’inverse : $\frac{1}{n^2+n} \le \frac{1}{n^2+k} \le \frac{1}{n^2+1}$.
On multiplie par $n$ : $\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+k} \le \frac{n}{n^2+1}$.
On somme pour $k$ de 1 à $n$. Comme les bornes ne dépendent pas de $k$, on les multiplie par le nombre de termes, $n$ :
$$ n \times \frac{n}{n^2+n} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k} \le n \times \frac{n}{n^2+1} $$
$$ \frac{n^2}{n^2+n} \le u_n \le \frac{n^2}{n^2+1} $$
Or, $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+n} = 1$ et $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+1} = 1$.
Par le théorème des gendarmes, on conclut que $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$.
Méthode 3 : Les Sommes de Riemann (Lien avec l’Intégrale)
Cette méthode plus avancée est très efficace si la suite peut s’écrire sous une forme précise.
Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[0, 1]$. Alors : $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) \,dx $$
La stratégie est donc de manipuler l’expression de $u_n$ pour la mettre sous cette forme, en factorisant par $\frac{1}{n}$.
Exemple : Soit $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$.
On factorise par $n$ au dénominateur pour faire apparaître le terme $\frac{k}{n}$ : $$ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n(1 + k/n)} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n} $$ On reconnaît une somme de Riemann avec la fonction $f(x) = \frac{1}{1+x}$, qui est bien continue sur $[0, 1]$. La limite de la suite est donc l’intégrale : $$ \lim_{n \to \infty} u_n = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \,dx $$ $$ \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \,dx = \left[ \ln(1+x) \right]_{0}^{1} = \ln(1+1) – \ln(1+0) = \ln(2) $$ Donc, $\lim_{n \to \infty} u_n = \ln(2)$.