Comment Trouver la Matrice d’une Forme Bilinéaire dans une Base
Une forme bilinéaire est une application qui prend deux vecteurs pour produire un scalaire, tout en étant linéaire par rapport à chaque vecteur. Pour effectuer des calculs concrets, il est indispensable de la représenter par une matrice. Cette matrice dépend de la base choisie et contient toute l’information sur la forme bilinéaire.
Soit $\phi: E \times E \to K$ une forme bilinéaire, et $\mathcal{B}=(e_1, \dots, e_n)$ une base de l’espace vectoriel $E$. La matrice de $\phi$ dans la base $\mathcal{B}$ est la matrice carrée $A$ de taille $n \times n$ dont le coefficient à la ligne $i$ et la colonne $j$ est :
$A_{ij} = \phi(e_i, e_j)$
Une fois cette matrice calculée, l’image de deux vecteurs $u$ et $v$ (dont les coordonnées en colonne dans la base $\mathcal{B}$ sont $U$ et $V$) est donnée par le produit matriciel :
$\phi(u,v) = U^T A V$.
Exemple 1 : Le produit scalaire usuel dans $\mathbb{R}^2$
Soit $\phi$ le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^2$, défini par $\phi(u,v) = u \cdot v$. On choisit la base canonique $\mathcal{B}=(e_1, e_2)$ avec $e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$.
$A_{11} = \phi(e_1, e_1) = (1,0) \cdot (1,0) = 1$.
$A_{12} = \phi(e_1, e_2) = (1,0) \cdot (0,1) = 0$.
$A_{21} = \phi(e_2, e_1) = (0,1) \cdot (1,0) = 0$.
$A_{22} = \phi(e_2, e_2) = (0,1) \cdot (0,1) = 1$.
La matrice du produit scalaire dans la base canonique est donc la matrice identité : $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Exemple 2 : Une forme bilinéaire quelconque dans $\mathbb{R}^3$
Soit $\phi((x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2)) = x_1x_2 + 2y_1z_2 – 3z_1y_2$. On travaille dans la base canonique $\mathcal{B}=(e_1, e_2, e_3)$.
On calcule $\phi(e_i, e_j)$ pour toutes les paires :
$A_{11} = \phi(e_1,e_1) = 1$.
$A_{23} = \phi(e_2,e_3) = \phi((0,1,0), (0,0,1)) = 2(1)(1) – 3(0)(0) = 2$.
$A_{32} = \phi(e_3,e_2) = \phi((0,0,1), (0,1,0)) = 2(0)(0) – 3(1)(1) = -3$.
Tous les autres termes sont nuls.
La matrice est $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}$.
Exemple 3 : Une forme bilinéaire sur les polynômes
Soit $E = \mathbb{R}_1[X]$ (polynômes de degré $\le 1$) avec la base $\mathcal{B}=(1, X)$.
Soit $\phi(P,Q) = P(0)Q'(1)$, où $Q’$ est la dérivée de $Q$.
On pose $e_1=1$ et $e_2=X$.
$A_{11} = \phi(e_1,e_1) = e_1(0) \cdot e_1′(1) = 1 \cdot 0 = 0$.
$A_{12} = \phi(e_1,e_2) = e_1(0) \cdot e_2′(1) = 1 \cdot 1 = 1$.
$A_{21} = \phi(e_2,e_1) = e_2(0) \cdot e_1′(1) = 0 \cdot 0 = 0$.
$A_{22} = \phi(e_2,e_2) = e_2(0) \cdot e_2′(1) = 0 \cdot 1 = 0$.
La matrice est $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
- Symétrie : Une forme bilinéaire $\phi$ est symétrique si et seulement si sa matrice $A$ dans n’importe quelle base est symétrique ($A = A^T$).
- Changement de base : Si $A$ est la matrice de $\phi$ dans une base $\mathcal{B}$ et $P$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à une nouvelle base $\mathcal{B}’$, alors la matrice $A’$ de $\phi$ dans la base $\mathcal{B}’$ est donnée par la formule :
$A’ = P^T A P$.