Comment trouver la matrice d’une projection orthogonale
La projection orthogonale sur un sous-espace $F$ est une application linéaire. Comme toute application linéaire, elle peut être représentée par une matrice de projection, notée $P_F$. Cette matrice permet de calculer la projection de n’importe quel vecteur $v$ par un simple produit : $p_F(v) = P_F v$.
- Méthode 1 : Avec une base orthonormale.
C’est la méthode la plus élégante. Si $(e_1, \dots, e_k)$ est une base orthonormale de $F$, alors la matrice de projection est la somme des matrices de projection sur chaque droite :
$P_F = e_1 e_1^T + e_2 e_2^T + \dots + e_k e_k^T = \sum_{i=1}^{k} e_i e_i^T$.
Attention : $e_i$ est un vecteur colonne, $e_i^T$ est un vecteur ligne. Leur produit $e_i e_i^T$ est bien une matrice carrée. - Méthode 2 : Avec une base quelconque.
Si $(v_1, \dots, v_k)$ est une base quelconque de $F$, on forme la matrice $A$ dont les colonnes sont ces vecteurs. La matrice de projection est alors donnée par la formule :
$P_F = A (A^T A)^{-1} A^T$.
Cette formule est plus générale mais nécessite d’inverser la matrice $A^T A$. - Méthode 3 : En passant par l’orthogonal.
La matrice de projection sur $F$ et celle sur son orthogonal $F^\perp$ sont liées par la relation : $P_F + P_{F^\perp} = I$.
On a donc : $P_F = I – P_{F^\perp}$.
C’est très utile si $F^\perp$ a une dimension plus faible que $F$.
Exemple 1 : Matrice de projection sur une droite
Trouvons la matrice de projection sur la droite $F = \text{Vect}(u)$ de $\mathbb{R}^3$, avec $u = (1, 2, 2)$.
On utilise la Méthode 1.
1. Normaliser le vecteur de base :
$\|u\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
Une base orthonormale est $(e_1)$ avec $e_1 = \frac{1}{3}(1, 2, 2)$.
2. Calculer $P_F = e_1 e_1^T$ :
$e_1 = \begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix}$ et $e_1^T = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & 2/3 \end{pmatrix}$.
$P_F = \begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & 2/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 4 \end{pmatrix}$.
Exemple 2 : Matrice de projection sur un plan
Trouvons la matrice de projection sur le plan $F$ de $\mathbb{R}^3$ d’équation $x+y+z=0$.
Ici, $F^\perp$ est la droite dirigée par $n=(1,1,1)$. La dimension de $F^\perp$ est 1, contre 2 pour $F$. On utilise la Méthode 3.
1. Calculer la matrice de projection sur $F^\perp$ :
C’est l’exemple 1 avec le vecteur $u=(1,1,1)$. $\|u\|=\sqrt{3}$. Le vecteur normalisé est $e_n = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$.
$P_{F^\perp} = e_n e_n^T = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Utiliser la formule $P_F = I – P_{F^\perp}$ :
$P_F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} – \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$.
Exemple 3 : Base quelconque
Trouvons la matrice de projection sur le plan $F=\text{Vect}(v_1, v_2)$ où $v_1=(1,1,0)$ et $v_2=(1,0,1)$. La base n’est pas orthogonale. On utilise la Méthode 2.
1. Former la matrice A :
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Calculer $A^T A$ et son inverse :
$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
$(A^T A)^{-1} = \frac{1}{2 \cdot 2 – 1 \cdot 1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.
3. Calculer $P_F = A (A^T A)^{-1} A^T$ :
$P_F = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$P_F = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$.
Une matrice $P$ représente une projection orthogonale si et seulement si elle vérifie deux conditions :
- Elle est idempotente : $P^2 = P$. (Projeter une deuxième fois ne change rien).
- Elle est symétrique : $P^T = P$. (C’est la condition qui garantit que la projection est orthogonale).