Comment trouver le supplémentaire orthogonal d’un sous-espace
En algèbre linéaire, le concept de supplémentaire orthogonal est crucial. Si vous avez un sous-espace $F$, son supplémentaire orthogonal $F^\perp$ (lire ‘F perp’ ou ‘F orthogonal’) est l’ensemble de tous les vecteurs qui sont perpendiculaires à TOUS les vecteurs de $F$. Ensemble, $F$ et $F^\perp$ ‘reconstituent’ l’espace entier de manière orthogonale.
Selon la manière dont le sous-espace $F$ est défini, une méthode sera plus rapide que l’autre.
- Méthode 1 : Si F est défini par une famille génératrice (Vect).
Soit $F = \text{Vect}(v_1, \dots, v_k)$. Un vecteur $u$ est dans $F^\perp$ si et seulement s’il est orthogonal à tous les vecteurs générateurs de $F$.
Il suffit donc de trouver les vecteurs $u$ qui résolvent le système d’équations :
$\langle u, v_1 \rangle = 0$
$\langle u, v_2 \rangle = 0$
…
$\langle u, v_k \rangle = 0$ - Méthode 2 : Si F est défini par un système d’équations.
Si $F$ est un hyperplan dans $\mathbb{R}^n$ d’équation $a_1x_1 + \dots + a_nx_n = 0$, alors le vecteur $n=(a_1, \dots, a_n)$ est un vecteur normal à l’hyperplan. Le supplémentaire orthogonal est simplement la droite vectorielle dirigée par ce vecteur : $F^\perp = \text{Vect}(n)$.
Plus généralement, si $F$ est défini par un système de $k$ équations, les $k$ vecteurs formés par les coefficients de chaque équation forment une famille génératrice (souvent une base) de $F^\perp$.
Exemple 1 : Orthogonal d’une droite dans $\mathbb{R}^3$
Soit $F$ la droite vectorielle de $\mathbb{R}^3$ engendrée par le vecteur $v_1 = (1, 2, 3)$. Donc $F = \text{Vect}((1, 2, 3))$.
On utilise la Méthode 1. On cherche tous les vecteurs $u=(x,y,z)$ tels que $\langle u, v_1 \rangle = 0$.
$\langle (x,y,z), (1,2,3) \rangle = 1 \cdot x + 2 \cdot y + 3 \cdot z = 0$.
L’équation est $x+2y+3z=0$.
Le supplémentaire orthogonal $F^\perp$ est le plan vectoriel d’équation $x+2y+3z=0$. On a bien $\dim(F) + \dim(F^\perp) = 1+2=3$.
Exemple 2 : Orthogonal d’un plan dans $\mathbb{R}^3$
Soit $F$ le plan vectoriel de $\mathbb{R}^3$ défini par l’équation $2x – y + 4z = 0$.
On utilise la Méthode 2.
L’équation du plan est de la forme $\langle u, n \rangle = 0$ avec $u=(x,y,z)$ et $n=(2, -1, 4)$. Le vecteur $n$ est donc, par définition, orthogonal à tous les vecteurs du plan $F$.
Le supplémentaire orthogonal $F^\perp$ est la droite vectorielle engendrée par ce vecteur normal : $F^\perp = \text{Vect}((2, -1, 4))$.
Exemple 3 : Sous-espace de $\mathbb{R}^4$
Soit $F = \text{Vect}(v_1, v_2)$ dans $\mathbb{R}^4$, avec $v_1=(1,1,0,1)$ et $v_2=(0,1,1,1)$.
On utilise la Méthode 1. On cherche $u=(x,y,z,t)$ tel que $\langle u, v_1 \rangle = 0$ et $\langle u, v_2 \rangle = 0$.
Cela nous donne le système :
$\begin{cases} x + y + t = 0 \\ y + z + t = 0 \end{cases}$
On exprime les variables en fonction des variables libres (par exemple, $z$ et $t$).
De la 2ème équation : $y = -z – t$.
En remplaçant dans la 1ère : $x + (-z-t) + t = 0 \implies x – z = 0 \implies x=z$.
Un vecteur $u$ de $F^\perp$ est donc de la forme $(z, -z-t, z, t)$.
On peut le décomposer : $(z, -z-t, z, t) = (z, -z, z, 0) + (0, -t, 0, t) = z(1, -1, 1, 0) + t(0, -1, 0, 1)$.
Le supplémentaire orthogonal est donc le sous-espace de dimension 2 :
$F^\perp = \text{Vect}((1, -1, 1, 0), (0, -1, 0, 1))$.
Pour tout sous-espace vectoriel $F$ d’un espace euclidien $E$ de dimension finie :
- $F^\perp$ est toujours un sous-espace vectoriel de $E$.
- En somme directe : $F \oplus F^\perp = E$. Cela signifie que tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique en une somme d’un vecteur de $F$ et d’un vecteur de $F^\perp$.
- Relation des dimensions : $\dim(F) + \dim(F^\perp) = \dim(E)$.
- Double orthogonal : L’orthogonal de l’orthogonal, c’est le sous-espace de départ : $(F^\perp)^\perp = F$.