Trouver le terme général d’une suite (c’est-à-dire une formule explicite de $u_n$ en fonction de $n$) est l’un des objectifs principaux de l’étude des suites récurrentes. La méthode dépend entièrement de la nature de la relation de récurrence.
Cas Simples : Suites Arithmétiques et Géométriques
Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1} = u_n + r$.
Son terme général est :
$$u_n = u_0 + n \cdot r$$
Ou plus généralement : $u_n = u_p + (n-p) \cdot r$.
Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1} = q \cdot u_n$.
Son terme général est :
$$u_n = u_0 \cdot q^n$$
Ou plus généralement : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
Cas Intermédiaire : Suites Arithmético-Géométriques
Ces suites sont définies par une relation de la forme $u_{n+1} = au_n + b$. La méthode consiste à trouver le point fixe $\alpha$ de la relation (solution de $\alpha = a\alpha + b$) puis à étudier la suite auxiliaire $v_n = u_n – \alpha$, qui s’avère être une suite géométrique. On trouve alors l’expression de $v_n$ puis on en déduit celle de $u_n$.
Cas Classique : Suites Récurrentes Linéaires d’Ordre 2
C’est le cas le plus important après les précédents. Une suite est récurrente linéaire d’ordre 2 à coefficients constants si elle est définie par une relation de la forme : $$u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$$ La méthode repose sur la résolution de l’équation caractéristique.
À la suite définie par $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$, on associe l’équation caractéristique du second degré : $$(E) : \quad r^2 – ar – b = 0$$ On calcule son discriminant $\Delta = (-a)^2 – 4(1)(-b) = a^2 + 4b$. La forme du terme général de $(u_n)$ dépend des racines de $(E)$.
- Cas 1 : $\Delta > 0$. L’équation a deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$. Le terme général est de la forme : $$u_n = \lambda \cdot r_1^n + \mu \cdot r_2^n$$
- Cas 2 : $\Delta = 0$. L’équation a une racine réelle double $r_0$. Le terme général est de la forme : $$u_n = (\lambda + n\mu) \cdot r_0^n$$
- Cas 3 : $\Delta < 0$. L’équation a deux racines complexes conjuguées, $r_1 = \rho e^{i\theta}$ et $r_2 = \rho e^{-i\theta}$. Le terme général est de la forme : $$u_n = \rho^n (\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta))$$
Dans chaque cas, les constantes $\lambda$ et $\mu$ sont déterminées en utilisant les deux premiers termes de la suite (souvent $u_0$ et $u_1$).
Soit la suite définie par $u_0 = 2$, $u_1 = 1$ et $u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n$.
- Équation caractéristique : $r^2 – r – 2 = 0$.
- Résolution : Le discriminant est $\Delta = (-1)^2 – 4(1)(-2) = 9 = 3^2$. Les racines sont $r_1 = \frac{1-3}{2} = -1$ et $r_2 = \frac{1+3}{2} = 2$.
- Forme du terme général : On est dans le cas 1. $u_n = \lambda (-1)^n + \mu (2^n)$.
- Détermination des constantes :
- Pour $n=0$ : $u_0 = \lambda(-1)^0 + \mu(2^0) \implies 2 = \lambda + \mu$.
- Pour $n=1$ : $u_1 = \lambda(-1)^1 + \mu(2^1) \implies 1 = -\lambda + 2\mu$.
- Conclusion : Le terme général de la suite est $u_n = (-1)^n + 2^n$.